一、推理规则

　　1.全称量词消去规则
　　(x)P(x)P(y)或(x)P(x)TP(c)
　　其中y是论域中一个体。
　　意指如果所有的x∈D都具有性质P，那么D中任一个体y必具有性质P。当P(x)中不再含有量词和其它变项时，这条规则明显成立。
　　而当允许P(x)中可出现量词和变项时，需限制y不在P(x)中约束出现，以避免发生错误。
　　如 (x)P(x) = (x)((z)(x < z)) 在实数上成立
　　P(y) = (z) (y < z)
　　但当y取为z，便有(z)(z < z)，这是矛盾式，这时z在P(x)中是约束出现了。
　　2. 全称量词引入规则
　　P(y)T(x)P(x)
　　其中y是论域中任一个体。
　　意指如果任一个体y（自由变项）都具有性质P，那么所有个体x都具有性质P。
　　仍需限制x不在P(y)中约束出现。如
　　P(y) = (z) (z > y) 在实数域上成立。
　　(x)P(x) = (x)((z)(z > x))
　　但当z取为x，这时x在P(y)中约束出现，(x)(x)(x > x)是不成立的。
　　3. 存在量词消去规则
　　(x)P(x)P(c)
　　其中c是论域中的一个个体常项。
　　意指如果论域中存在有个体具有性质P，那么必有某个个体c具有性质P。
　　需限制(x)P(x)中没有自由个体出现。如实数域上(x)P(x) = (x) (x > y)是成立的，y是自由个体， 这时不能推导出c > y。
　　这需限制P(x)中不含有c。如实数域上
　　(x)P(x) = (x) (c < x)是成立的，但c < c不能成立。
　　4. 存在量词引入规则
　　P(c)(x)P(x)
　　其中c是论域中一个体常项。
　　意指如果有个体常项c具有性质P，那么(x)P(x)必真。
　　需限制x不出现在P(c)中。如实数域上，P(0) = (x) (x > 0)成立，但(x)(x)(x > x)是不成立的。
　　5.我们来看下面的例子
　　证明xyP(x, y) =yxP(x, y)。