思路：这是一个等值式，可以用证明双向蕴含的方法证明。这只要分别构造两个公式序列作为形式证明即可。
　证明
　　先证明xy P(x, y)yxP(x, y)

（1）xy P(x, y)	前提
（2）y P(s, y)	（1）US
（3） P(s, t)	（2）US
（4）x P(x, t)	（3）UG
（5）yx P(x, y)	（4）UG

　　所以，xy P(x, y)yx P(x, y)。
　　再证明yx P(x, y)xy P(x, y)

（1）yx P(x, y)	前提
（2）x P(x, t)	（1）US
（3） P(s, t)	（2）US
（4）x P(s, y)	（3）UG
（5）xy P(x, y)	（4）UG

　　所以yx P(x, y)xy P(x, y)。
　　综合即得：xy P(x, y) = yx P(x, y)。
　　说明：本例说明两个全称量词可以交换顺序，同理可证明
　　　xy P(x, y) = yx P(x, y)
　　这说明两个存在量词也可以交换顺序。亦即，两个同名（同为全称或同为存在）的量词可以交换顺序。但要注意，这不能说成个体变元的换序。因为P(x, y)中的x和y的位置并未交换。而且一般的谓词中的个体变元的位置是不能随意交换的。
　　另外，在上述证明中使用规则US由xy P(x, y)得到的是y P(s, y)，再用US得到的是A(s, t)，其中的s、t都是个体变元。实际上，可以将y P(s, y)写成y P(x, y)，再将P(s, t)写成P(x, y)。这样，上述证明的公式序列可写成如下形式（下面只写出证明xy P(x, y)yx P(x, y)的一段）：

（1）xy P(x, y)	前提
（2）y P(x, y)	（1）US
（3） P(x, y)	（2）US
（4）x P(x, y)	（3）UG
（5）yx P(x, y)	（4）UG

　这样看起来好像违反了规则US
　　　xP(x)P(y)
　　中y不在P(x)中约束出现的要求，但实际上并非如此。因为US中要求的y是不在P(x)中约束出现而不是不在x P(x)中约束出现。当去掉量词x后P(x)中的x已不是约束出现的了。故这样写是允许的。事实上，当写成P(y)后公式中已不含x的任何出现了。若对y进行代入也可得到P(x)。因此，我们下面就直接采用这种"修正"的写法，以免使用的变元符号太多而引起混淆。
　　但要注意，xP(x)与P(x)的意义是不同的（尽管从US和UG看来它们是等值的）。xP(x)是说所有x均使P(x)为真，是对整个论域而言的，而P(x)是说每一个x均使P(x)为真，是对每个个体而言的。一个是整体概念，一个是个别性质（尽管具有一般性）。当然这两者是可以互相转换的，其转换正是由US和UG体现出来的。它们的区别和联系就像数学中的函数f(x)在区间（a, b）内连续与f(x)在(a, b)内的每一点连续一样，是两个不同但可相互转换的概念，至于xP(x)和P(x)之间的关系也可同样理解。