思路:这是一个等值式,可以用证明双向蕴含的方法证明。这只要分别构造两个公式序列作为形式证明即可。
证明
先证明 x y
P(x, y) y xP(x,
y)
(1) x y
P(x, y) |
前提 |
(2) y
P(s, y) |
(1)US |
(3) P(s, t) |
(2)US |
(4) x
P(x, t) |
(3)UG |
(5) y x
P(x, y) |
(4)UG |
所以, x y
P(x, y) y x
P(x, y)。
再证明 y x
P(x, y) x y
P(x, y)
(1) y x
P(x, y) |
前提 |
(2) x
P(x, t) |
(1)US |
(3) P(s, t) |
(2)US |
(4) x
P(s, y) |
(3)UG |
(5) x y
P(x, y) |
(4)UG |
所以 y x
P(x, y) x y
P(x, y)。
综合即得: x y
P(x, y) = y x
P(x, y)。
说明:本例说明两个全称量词可以交换顺序,同理可证明
x y
P(x, y) = y x
P(x, y)
这说明两个存在量词也可以交换顺序。亦即,两个同名(同为全称或同为存在)的量词可以交换顺序。但要注意,这不能说成个体变元的换序。因为P(x,
y)中的x和y的位置并未交换。而且一般的谓词中的个体变元的位置是不能随意交换的。
另外,在上述证明中使用规则US由 x y
P(x, y)得到的是 y
P(s, y),再用US得到的是A(s, t),其中的s、t都是个体变元。实际上,可以将 y
P(s, y)写成 y
P(x, y),再将P(s, t)写成P(x, y)。这样,上述证明的公式序列可写成如下形式(下面只写出证明 x y
P(x, y) y x
P(x, y)的一段):
(1) x y
P(x, y) |
前提 |
(2) y
P(x, y) |
(1)US |
(3) P(x, y) |
(2)US |
(4) x
P(x, y) |
(3)UG |
(5) y x
P(x, y) |
(4)UG |
这样看起来好像违反了规则US
xP(x) P(y)
中y不在P(x)中约束出现的要求,但实际上并非如此。因为US中要求的y是不在P(x)中约束出现而不是不在 x
P(x)中约束出现。当去掉量词 x后P(x)中的x已不是约束出现的了。故这样写是允许的。事实上,当写成P(y)后公式中已不含x的任何出现了。若对y进行代入也可得到P(x)。因此,我们下面就直接采用这种"修正"的写法,以免使用的变元符号太多而引起混淆。
但要注意, xP(x)与P(x)的意义是不同的(尽管从US和UG看来它们是等值的)。 xP(x)是说所有x均使P(x)为真,是对整个论域而言的,而P(x)是说每一个x均使P(x)为真,是对每个个体而言的。一个是整体概念,一个是个别性质(尽管具有一般性)。当然这两者是可以互相转换的,其转换正是由US和UG体现出来的。它们的区别和联系就像数学中的函数f(x)在区间(a,
b)内连续与f(x)在(a, b)内的每一点连续一样,是两个不同但可相互转换的概念,至于 xP(x)和P(x)之间的关系也可同样理解。
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