3）. 实体造型 　　早在60年代初，就提出了实体造型的概念，但由于当时理论研究和实践都不够成熟，实体造型技术发展缓慢。70年代初出现了简单的具有一定实用性的基于实体造型的CAD/CAM系统，实体造型在理论研究方面也相应取得了发展。如1973年，英国剑桥大学的布雷德(I.C. Braid)曾提出采用六种体素作为构造机械零件的积木块的方法，但仍然不能满足实体造型技术发展的需要。在实践中人们认识到，实体造型只用几何信息表示是不充分的，还需要表示形体之间相互关系、拓扑信息。到70年代后期，实体造型技术在理论、算法和应用方面逐渐成熟。进入80年代后，国内外不断推出实用的实体造型系统，在实体建模、实体机械零件设计、物性计算、三维形体的有限元分析、运动学分析、建筑物设计、空间布置、计算机辅助制造中的NC程序的生成和检验、部件装配、机器人、电影制片技术中的动画、电影特技镜头、景物模拟、医疗工程中的立体断面检查等方面得到广泛的应用。 　　实体造型是以立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等多种基本体素为单位元素，通过集合运算(拼合或布尔运算)，生成所需要的几何形体。这些形体具有完整的几何信息，是真实而唯一的三维物体。所以，实体造型包括两部分内容：即体素定义和描述，以及体素之间的布尔运算(并、交、差)。布尔运算是构造复杂实体的有效工具。目前常用的实体表示方法主要有：边界表示法(BRep)、构造实体几何法(CSG)和扫描法。 　　(1) 三维形体在计算机内的常用表示法 　　对于三维几何元素或简称三维形体，最常用的表示法有两种：CSG和BRep。 　① CSG表示法：先定义一些形状比较简单的常用体素，如方块、圆柱、圆锥、球、棱柱等。然后用集合运算并、交、差把体素修改成复杂形状的形体。早期的CSG模型仅使用代数方程及半空间的概念，体素只支持多面体与二次曲面体，而不支持表面含有自由曲面的实体。整个模型是棵树结构，最终形体的表面交线与有效区域没有显式给出，不能直接用于NC加工与有限元分析等后继处理。 　② BRep表示法：用点、边、面、环以及它们之间相互的邻接关系定义三维实体，形体表面、边界线、交线等都显式给出。但是生成个别形体的过程相当复杂、不直观，不可能由用户直接操作。它的优点是能支持所有类型的曲面作为形体表面。能直接支持NC加工与有限元分析等，故其优缺点恰与CSG模型相反。后来，人们转向使用CSG与BRep的混合模型。 　③ CSG与BRep的混合模型表示法：用CSG作为高层次抽象的数据模型，用BRep作为低层次的具体表示形式。CSG树的叶子结点除了存放传统的体素的参数定义，还存放该体素的BRep表示。CSG树的中间结点表示它的各子树的运算结果。用这样的混合模型对用户来说十分直观明了，可以直接支持基于特征的参数化造型功能，而对于形体加工，分析所需要的边界、交线、表面不仅可显式表示，且能够由低层的BRep直接提供。 　　(2) 三维形体的集合运算 　　通常一个形体是由两个或两个以上较简单的形体(称之为体素)经过集合运算得到的集合运算子<op>包括并(è)、交(?)、差(-)。设A和B是两个用BRep表示描述的维数一致的多面体，集合运算结果形体C=A<op>B的步骤可简介如下： 　① 确定集合运算两形体之间的关系：形体边界表示BRep结构中的面、边、点之间的基本分类关系分别是"点在面上"、"点在边上"、"两点重合"、"边在面上"、"两边共线"、"两个多边形共面"等六种关系。先用数值计算确定"点在面上"的关系，其余五种关系可以根据"点在面上"关系推导出来。当这些关系发生冲突时，就用推理的方法解决冲突。 　② 进行边、体分类：对A形体上的每一条边，确定对B形体的分类关系(A在B形体内、外、上面、相交等)；同样对B形体上的每一条边，确定对A形体的分类关系。 　③ 计算多边形的交线：对于A形体上的多边形PA和B形体上的每一个多边形PB，计算它们的交线。 　④ 构造新形体C表面上的边：对于A形体上和B形体上的每一个多边形PA、PB，根据集合运算的算子收集多边形PA的边与另一个多面体表面多边形PB的交线以生成新形体C表面的边，如果多边形PA上有边被收集到新形体C的表面，则PA所有的平面将成为新形体C表面上的一个平面，多边形PA的一部分或全部则成为新形体C的一个或多个多边型。如果定义了两个形体A和B的完整边界，那么形体C的完整边界就是A和B边界各部分的总和。 　⑤ 构造多边形的面：对新形体C上的每一个面，将其边排序构成多边形面环。 　⑥ 合法性检查：检查形体C的BRep表示的合法性。