基于距离可分性判据的特征优化过程是通过一个线性变换实现的。设在原特征空间一个样本向量表示成Y(D维)而在优化以及的特征空间中，样本向量表示成X(d维)而X与Y之间的关系是：
　　
　　其中W是一个D×d维矩阵，现在的问题是要利用判据找出一种线性变换，利用这种变换，实现这种判据的极值化。例如使上一节定义的判据J2(x)达到极值。
　　这一节的思路是这样的：首先说明J2(x)等这些判据在不降维的线性变换条件下是不能体现优化的，然而说明如何找到使判据优化的降维线性变换。在不降维条件下，因为变换前的，则变换后的离散矩阵而，因此有
　　　　　　　(4-18)
　　由于J2(x)左式括弧中的矩阵与J2'(x)式右项括弧中的矩阵是相似关系，也就是说S与 是相似关系，因此它们的特征值都是一样的。
　　而由于矩阵的迹是所有特征值之和(见4-19)，因此J2(x)=J2'(x)判据值不会改变。这就是说，对于任何一个不降维的线性变换(W是D×D矩阵)J2判据的值都是一样的。另一个结论是在降维条件下，即使用任何一个非奇异线性变换矩阵(D×d)进行降维，则所得的迹也必然小于原的迹。经过推导可以证明，只要对作特征值分解，并将特征值按降序排列，则取前d项特征值对应的特征向量构成的线性变换矩阵W，能使降维后的特征空间使J2(x)判据值为最大。
　　前面已说明特征提取在这里的意义是指对原始的D维特征空间进行一个降维的变换，从而使用维数减少后的特征空间。因此特征提取在这里意味着找到一个变换W，对原始特征向量实行映射变换W： Y→X，得到维数减少的向量，即
　　　　　　　(4-16)
　　W为D×d矩阵，并希望变换后的特征向量能满足使某个准则函数达到极值的要求。在这一节中讨论按欧氏距离度量的准则，它们列举在上一小节中。
　　值得注意的是上面列出的准则中，如果对特征空间实行一个D×D矩阵的非奇异线性变换，J2，J3与 都保持不变。例如若对原特征空间实行一D×D线性变换A，则离散度矩阵Sb与SW变为Sb＝ASbAT及SW＝ASWAT，而映射变换后的J2(X)有：

　　因而以下讨论的特征提取变换，只考虑是降维的，即用D×d矩阵(d＜D)进行变换。其目的是在维数d的条件下，使相应的判据为最大。
在使用J2判据的情况下，可以将J=判据表示成变换W的函数，有
　　(4-17)
　　求使J2(W)最大的W解可利用特征值方法。前面曾提到如果W是一个D×D的线性变换，则J2是不变的，而此时(4-17)可进一步表示成
　　(4-18)
　　其中用WD代替(4-17)中的W，以强调是D×D变换。如果 是 的各特征值对应的特征向量所组成的矩阵，则由(4-18)式可得：
　　(4-19)
　　其中λi表示 的各特征值。(4-19)式表明D维特征空间中，J2判据的值是 矩阵的全部特征值之和。那么由对应于d个最大的特征值的特征向量所组成的矩阵W(D×d)，就能使所得到的d维特征满足J2判据最大的要求。
　　虽然J2，J3，J5乃至J4所采用的计算方法各不相同，但都得到一个同样的结论，如果矩阵 的特征值λ1，λ=，…λD按大小顺序列为：
　　λ1≥λ2≥λ3≥…≥λD
　　则选择前d个特征值所对应的特征向量组成变换矩阵W，都可使这些判据达到最大值。
　　基于距离可分性判据的特征优化过程是通过一个线性变换实现的。设在原特征空间一个样本向量表示成Y(D维)而在优化以及的特征空间中，样本向量表示成X(d维)而X与Y之间的关系是：

　　其中W是一个D×d维矩阵，现在的问题是要利用判据找出一种线性变换，利用这种变换，实现这种判据的极值化。例如使上一节定义的判据J2(x)达到极值。
　　这一节的思路是这样的：首先说明J2(x)等这些判据在不降维的线性变换条件下是不能体现优化的，然而说明如何找到使判据优化的降维线性变换。在不降维条件下，因为变换前的 ，则变换后的离散矩阵 而 因此有
　　(4-18)
　　由于J2(x)左式括弧中的矩阵与J2′(x)式右项括弧中的矩阵是相似关系，也就是说S 与 是相似关系，因此它们的特征值都是一样的。
　　而由于矩阵的迹是所有特征值之和(见4-19)，因此J2(x)=J2’(x)判据值不会改变。这就是说，对于任何一个不降维的线性变换(W是D×D矩阵)J2判据的值都是一样的。另一个结论是在降维条件下，即使用任何一个非奇异线性变换矩阵(D×d)进行降维，则所得 的迹也必然小于原 的迹。经过推导可以证明，只要对 作特征值分解，并将特征值按降序排列，则取前d项特征值对应的特征向量构成的线性变换矩阵W，能使降维后的特征空间使J2(x)判据值为最大。
前面已说明特征提取在这里的意义是指对原始的D维特征空间进行一个降维的变换，从而使用维数减少后的特征空间。因此特征提取在这里意味着找到一个变换W，对原始特征向量Y＝［y1，…，yD］T实行映射变换W： Y→X，得到维数减少的向量X＝［x=，…，xd］T，即
　　X＝WTY (4-16)
　　W为D×d矩阵，并希望变换后的特征向量能满足使某个准则函数达到极值的要求。在这一节中讨论按欧氏距离度量的准则，它们列举在上一小节中。
　　值得注意的是上面列出的准则中，如果对特征空间实行一个D×D矩阵的非奇异线性变换，J2，J3与 都保持不变。例如若对原特征空间实行一D×D线性变换A，则离散度矩阵，而映射变换后的J2(X)有：
　　
　　因而以下讨论的特征提取变换，只考虑是降维的，即用D×d矩阵(d＜D)进行变换。其目的是在维数d的条件下，使相应的判据为最大。
　　在使用J2判据的情况下，可以将J=判据表示成变换W的函数，有
　　　　　　　(4-17)
　　求使J2(W)最大的W解可利用特征值方法。前面曾提到如果W是一个D×D的线性变换，则J2是不变的，而此时(4-17)可进一步表示成
　　　　　　　(4-18)
　　其中用WD代替(4-17)中的W，以强调是D×D变换。如果 是的各特征值对应的特征向量所组成的矩阵，则由(4-18)式可得：
　　　　　　(4-19)
　　其中λi表示的各特征值。(4-19)式表明D维特征空间中，J2判据的值是矩阵的全部特征值之和。那么由对应于d个最大的特征值的特征向量所组成的矩阵W(D×d)，就能使所得到的d维特征满足J2判据最大的要求。
　　虽然J2，J3，J5乃至J4所采用的计算方法各不相同，但都得到一个同样的结论，如果矩阵的特征值按大小顺序列为：
　　
　　则选择前d个特征值所对应的特征向量组成变换矩阵W，都可使这些判据达到最大值。