定义定义12.6.1 对集合K和L，，，如果存在从K到L的单射函数，则称集合L优势于K，记作，且称基数k不大于基数l，记作 。
定义定义12.6.2 对基数k和l，如果且，则称k小于l，记作。
例题例1 对任意的基数k, 有0≤k。对任意的自然数n, 有n≤.
例题例2 对集合K和L, 若KL, 则card(K)≤card(L)。 反之,对基数k和l, 若k≤l, 则存在集合K和L, 使card(K)=k, card(L)=l, 且KL。
例题例3 对任意的基数k, 有k<2k。
证明 对基数k, 存在集合K , 使得card(K)=k。 由12.5节, card(P(K))=2k。 构造函数f: A→P(A), f(x)={x}, 则f是单射的。 则A≤P(A), k≤2k。 由定理12.2.3, K≈P(K), k≠2k。 因此, k<2k。
这个例子说明, 不存在最大的基数。
定理定理12.6.1 对任意的基数k 、l和m，有
　　(1)
　　(2)若且，则，
　　(3)若且则，
　　(4)或
　　结论(1)和(2)很容易证明。 结论(3)是施罗德-伯恩斯坦定理, 证明较复杂, 在此省略了。 结论(4)是选择公理的等价形式, 等价性的证明从略。
例题例4 对任意的集合K、L和M, 如果K≤L, L≤M且M≤K, 则K≈L≈M。
例题例5 R≈N2, 即R≈P(N)。
证明 只要证R≤N2且N2≤R。
　　先证R≤N2. 因(0,1)≈R, 先证(0,1)≤N2. 构造函数H:(0,1)→N2为, 对任意的z∈(0,1), 有H(z):N→{0,1}, 且H(z)(n)=在z的二进制表示中第n+1个数字。 例如, 对z=0.110100…,H(z)(0)=1、H(z)(1)=1、H(z)(2)=0、H(z)(3)=1等。 显然, H是单射的。 则(0,1)≤N2, R≤N2.
　　再证N2≤R。对任意的f∈N2, 即函数f: N→{0,1}, 按如下规则把f 映射到[0,1]中的一个实数。 (这就是构造函数G:N2→[0,1]。) 如果f 的函数值依次为1,1,0,0,0,1,…, 则把f 映射到0.110001…这个十进制小数。 (这就是令G(f )=0.110001…。)。 这是从N2到R的一个单射函数。 所以N2≤R。
　　由这个例子得到
　　=card(R)=card(N2)=2.
定理定理12.6.2 对任意的基数k、l 和m，如果，则
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)若或则
证明
　　（1） 取集合A，B，C，使得，且
　　，
　　则，且，因而，
　　　
　　（2）取集合A，B，C，且，易知，
，
　　于是
　　　
　　（3）取集合A，B，C，。首先证明。取 ，且，显然H是单射的，所以。于是
。
　　（4） 取集合A，B，C，，则。只要证明 。
　　①当时，，但此时，于是，此时又有，于是
。
　　② ，此时，。
　　取 ，且，则，易证，且，则，所以H是单射的，于是 。
　　。

例题例6　 2≤·2≤2·2=2, 所以, ·2=2,
定理定理12.6.3 对基数k和l，如果 、，l 是无限基数，则
　　　
证明 为证本定理, 要使用引理k·k=k。但该引理证明较复杂。下面不证引理,直接引用它。
　　　　l≤k+l≤l+l=2·l≤l·l=l,
　　所以k+l=l。
　　　l≤k·l≤l·l=l
　　所以, k·l=l。
例题例7 对任意的无限基数k,kk=2k。
证明 kk≤(2k)k=2k· k=2k≤ kk, 所以, kk=2k。
定理定理12.6.4
　　(1) 对任意的无限集合K，。
　　(2) 对任意的无限基数k，。
证明
　　(1) 严格的证明要使用N上的递归定理。 下面简要介绍证明的主要思想。
　　构造单射函数g:N→K。 因为K非空, 则存在a0∈K, 令g(0)=a0. 因为K是无限集合, 则K-{a0}=。由选择公理,可以选择a1∈K-{a0}, 令g(1)=a。 依此类推, 可以选g(2)=a2, g(3)=a3,…。 一般情况。如果已选定了g(0),g(1),…,g(n)。 则由选择公理可以从K={g(0),g(1),…,g(n)}中选an+1,使g(n+1)=an+1。 显然, g是单射的。
　　(2)由(1)证明。
　　由定理可知,是最小的无限基数。
例题例8 对任意的基数k,
　　k<当且仅当k是有限基数。
例题例9 有限集合的子集一定是有限的。