定义12.5.1 对任意的基数k和l，(1) 若存在集合K和L,
，
，则
(2) 若存在集合K和L，
，，则
(3) 若存在集合
和，，，则
，其中
是从L到K的函数的集合。可以证明, 对集合K、L、P、M, 如果K≈P且L≈M, 则K×L≈P×M且LK≈MP, 如果同时成立K∩L=
且P∩M=,
则K∪L≈P∪M。有限基数是基数的特例。 所以, 定义的三种运算也适于有限集合的基数。
例1
验证2 + 2 = 4, 2·2=4, 22=4.(1) 取K={0,1}, L={2,3}, 显然K∩L=
。
card(K)=2,
card(L)=2,
K∪L={0,1,2,3}。
则2 + 2 = card(K∪L)
=4.(2) 取K={0,1}=L, 则card(K)=2=card(L)·K×L ={0,1}×{0,1} = {<0,0>,<0,1>,<1,0>, <1,1>}。 于是2·2=card(K×L)=4.
这时, LK是从L到K的函数的集合, 则
LK={f1, f2, f3, f4}
而且 f1={<0,0>,<1,0>},
f2={<0,0>,<1,1>},
f3={<0,1>,<1,0>},
f ={<0,1>,<1,1>}。
于是, 22=card(LK)=4.
例2
对任意的非空集合K,
若card(K)=k,
则k是非零基数。
第九章已指出,
。则由定义12.5.1, 对任意的基数k≠1。
这些结论与通常的自然数运算基本一致。 唯一的例外是, 通常的幂运算不能求00, 这里的运算得到00=1。
例3
对任意的基数k,(1)k+0=k,
(2)k﹒0=0,
(3)k﹒1=k,
(4)
,(5)
,(6)k+k=2﹒k,
(7)
,(8)n+1=
(n为有穷基数)，证明留作思考题。
例4
对任意的n∈N，(1) n+
=,(2) n·
=,(3)
+=,(4)
﹒=.
证明(1) 令L=N, K={a1,…,an}, 且对于i=1,2,…,n,有ai
N。
则card(L)=,
card(K)=n,
K∩L=。于是,K∪L={a1,…,an, 0,1,2,…}。
构造双射函数f：K∪L→N。
则K∪L≈N, card(K∪L)=card(N)=
.
N+=card(K∪L)=.(2)-(4)的证明留作思考题。
例5
对任意的集合A,有card(P(A))=2card(A)。
证明
由运算定义, 2card(A)=card(A2)。由定理12.2.1, P(A)≈A2. 则
card(P(A))=card(A2)=2card(A)。
可以证明R≈P(N), 所以
2
=card(P(N))=card(R)=
。由定理12.2.3和例5, 对任意的基数k, 有k≠2k。 特别地,
≠2=。定理12.5.1
对任意的基数k
、l 和m，(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
证明
只证(6)， 其它留作思考题。(6) 取集合K、L和M, 使card(K)=k, card(L)=l, card(M)=m。 只要构造一个从 到(L×M)K的双射函数即可。
对任意的f∈M(LK), 即f:M→KK。 令H( f )是从L×M到K的函数, H(f):L×M→K, 且对<l',m'>∈L×M, H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。 因m'∈M, 则f(m')∈LK, f(m'): L→K, 又因l'∈L, 则f(m')(l')∈K。 且H(f)(<l',m'>)∈K。 上面定义了函数
H：M(LK) →(L×M)K,
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。
先证H是单射的。对任意的f,g∈M(LK), 如果f≠g，则存在m'∈M,使f(m')≠g(m')。 由于f(m')∈LK, g(m')∈LK, 则存在l'∈L, 使f(m')(l')≠g(m')(l')。 因此H(f)(< l',m'>)=f(m')(l')≠g(m')(l')=H(g)(<l',m'>)。所以, H(f)≠H(g)。 H是单射的。
再证H是满射的。对任意的j∈(L×M)K, 定义函数f: M→LK, 对任意m'∈M, 使 (m')(l')=j(<l',m'>)。 显然, f∈M(LK), 且
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')=j(<l',m'>),
所以, j∈ran(H)。 H是满射的。
总之, H是双射函数。 M(LK)≈(L×M)K。 (kl)m=k(l·m)。
定理说明, 对任意基数的运算的性质, 与自然数的运算性质一致。