有限基数是自然数, 可以使用在N上定义的加法、乘法和指数运算。
例如, 2+3=5, 2×3=6, 23=8。 可以推广这些运算, 建立任意基数间的运算。
定义12.5.1 对任意的基数k和l,
(1) 若存在集合K和L,
, ,则

(2) 若存在集合K和L, , ,则

(3) 若存在集合 和 , , ,则
,其中 是从L到K的函数的集合。
可以证明, 对集合K、L、P、M,
如果K≈P且L≈M,
则K×L≈P×M且LK≈MP,
如果同时成立K∩L= 且P∩M= ,
则K∪L≈P∪M。
有限基数是基数的特例。 所以, 定义的三种运算也适于有限集合的基数。
例1
验证2 + 2 = 4, 2·2=4, 22=4.
(1) 取K={0,1},
L={2,3}, 显然K∩L= 。
card(K)=2,
card(L)=2,
K∪L={0,1,2,3}。
则2 + 2 = card(K∪L)
=4.
(2) 取K={0,1}=L,
则card(K)=2=card(L)·K×L
={0,1}×{0,1} = {<0,0>,<0,1>,<1,0>, <1,1>}。 于是2·2=card(K×L)=4.
这时, LK是从L到K的函数的集合,
则
LK={f1,
f2,
f3,
f4}
而且
f1={<0,0>,<1,0>},
f2={<0,0>,<1,1>},
f3={<0,1>,<1,0>},
f ={<0,1>,<1,1>}。
于是, 22=card(LK)=4.
例2
对任意的非空集合K,
若card(K)=k,
则k是非零基数。
第九章已指出,
。
则由定义12.5.1, 对任意的基数k≠1。
这些结论与通常的自然数运算基本一致。 唯一的例外是, 通常的幂运算不能求00,
这里的运算得到00=1。
例3
对任意的基数k,
(1)k+0=k,
(2)k﹒0=0,
(3)k﹒1=k,
(4)
,
(5)
,
(6)k+k=2﹒k,
(7)
,
(8)n+1= (n为有穷基数),
证明留作思考题。
例4
对任意的n∈N,
(1) n+ = ,
(2) n· = ,
(3) + = ,
(4) ﹒ = .
证明
(1) 令L=N,
K={a1,…,an}, 且对于i=1,2,…,n,有ai N。
则card(L)= ,
card(K)=n,
K∩L= 。于是,
K∪L={a1,…,an,
0,1,2,…}。
构造双射函数f:K∪L→N。
则K∪L≈N,
card(K∪L)=card(N)= .
N+ =card(K∪L)= .
(2)-(4)的证明留作思考题。
例5
对任意的集合A,有
card(P(A))=2card(A)。
证明
由运算定义, 2card(A)=card(A2)。
由定理12.2.1, P(A)≈A2.
则
card(P(A))=card(A2)=2card(A)。
可以证明R≈P(N),
所以
2 =card(P(N))=card(R)= 。
由定理12.2.3和例5, 对任意的基数k,
有k≠2k。
特别地, ≠2 = 。
定理12.5.1
对任意的基数k
、l 和m,
(1) 

(2) 

(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
证明
只证(6), 其它留作思考题。
(6) 取集合K、L和M,
使card(K)=k,
card(L)=l,
card(M)=m。 只要构造一个从 到(L×M)K的双射函数即可。
对任意的f∈M(LK),
即f:M→KK。
令H( f
)是从L×M到K的函数,
H(f):L×M→K,
且对<l',m'>∈L×M,
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。
因m'∈M,
则f(m')∈LK,
f(m'):
L→K,
又因l'∈L,
则f(m')(l')∈K。
且H(f)(<l',m'>)∈K。
上面定义了函数
H:M(LK)
→(L×M)K,
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。
先证H是单射的。对任意的f,g∈M(LK),
如果f≠g,则存在m'∈M,使f(m')≠g(m')。
由于f(m')∈LK,
g(m')∈LK,
则存在l'∈L,
使f(m')(l')≠g(m')(l')。
因此H(f)(<
l',m'>)=f(m')(l')≠g(m')(l')=H(g)(<l',m'>)。所以,
H(f)≠H(g)。
H是单射的。
再证H是满射的。对任意的j∈(L×M)K,
定义函数f:
M→LK,
对任意m'∈M,
使 (m')(l')=j(<l',m'>)。
显然, f∈M(LK),
且
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')=j(<l',m'>),
所以, j∈ran(H)。
H是满射的。
总之, H是双射函数。
M(LK)≈(L×M)K。
(kl)m=k(l·m)。
定理说明, 对任意基数的运算的性质, 与自然数的运算性质一致。
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