有限基数是自然数, 可以使用在N上定义的加法、乘法和指数运算。 例如, 2+3=5, 2×3=6, 23=8。 可以推广这些运算, 建立任意基数间的运算。
定义 定义12.5.1 对任意的基数kl
  (1) 若存在集合
KL,
   ,则
   
  (2) 若存在集合
KL,则
   
  (3) 若存在集合
,则
,其中是从
LK的函数的集合。
  
可以证明, 对集合KLPM, 如果KPLM, 则K×LP×MLK≈MP, 如果同时成立KL=PM=, 则KLPM
  有限基数是基数的特例。 所以, 定义的三种运算也适于有限集合的基数。
例1 验证2 + 2 = 4, 2·2=4, 22=4.
  (1) 取K={0,1}, L={2,3}, 显然KL= card(K)=2, card(L)=2, KL={0,1,2,3}。 则2 + 2 = card(KL) =4.
  (2) 取K={0,1}=L, 则card(K)=2=card(LK×L ={0,1}×{0,1} = {<0,0>,<0,1>,<1,0>, <1,1>}。 于是2·2=card(K×L)=4.
这时, LK是从LK的函数的集合, 则
   LK={f1, f2, f3,
f4}
  而且
f1={<0,0>,<1,0>},
  
f2={<0,0>,<1,1>},
  
f3={<0,1>,<1,0>},
  
f ={<0,1>,<1,1>}。
  于是, 22=card(LK)=4.
例2 对任意的非空集合K, 若card(K)=k, 则k是非零基数。 第九章已指出,
   
  则由定义12.5.1, 对任意的基数k≠1。
  这些结论与通常的自然数运算基本一致。 唯一的例外是, 通常的幂运算不能求00, 这里的运算得到00=1。
例3 对任意的基数k,
  (1)
k+0=k,
  (2)
k﹒0=0,
  (3)
k﹒1=k,
  (4) ,
  (5) ,
  (6)
k+k=2﹒k,
  (7) ,
  (8)
n+1=(n为有穷基数),
  证明留作思考题。
例4 对任意的nN
  (1) n+=
,
  (2) n·
=,
  (3)
+=,
  (4)
=.
证明
  (1) 令L=N, K={a1,…,an}, 且对于i=1,2,…,n,有aiN。 则card(L)=
, card(K)=n, KL=。于是,
KL={a1,…,
an, 0,1,2,…}。
  构造双射函数fKLN
   
  则KLN, card(KL)=card(N)=
. N+=card(KL)=.
  (2)-(4)的证明留作思考题。
例5 对任意的集合A,有
   card(P(A))=2card(A)
证明 由运算定义, 2card(A)=card(A2)
  由定理12.2.1, P(A)≈A2. 则
    card(P(A))=card(A2)=2card(A)
  可以证明RP(N), 所以
  2
=card(P(N))=card(R)=
  由定理12.2.3和例5, 对任意的基数k, 有k≠2k。 特别地,
≠2=
定理定理12.5.1 对任意的基数klm
  (1)
    
  (2)
    
  (3)
  (4)
  (5)
  (6)
证明 只证(6), 其它留作思考题。
  (6) 取集合KLM, 使card(K)=k, card(L)=l, card(M)=m。 只要构造一个从 到(L×M)K的双射函数即可。
  对任意的fM(LK), 即f:M→KK。 令H( f )是从L×MK的函数, H(f):L×MK, 且对<l',m'>∈L×M, H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。 因m'∈M, 则f(m')∈
LK, f(m'): LK, 又因l'∈L, 则f(m')(l')∈K。 且H(f)(<l',m'>)∈K。 上面定义了函数
  HM(LK) →(L×M)K,
  H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')。
  先证H是单射的。对任意的f,gM(LK), 如果fg,则存在m'∈M,使f(m')≠g(m')。 由于f(m')∈LK, g(m')∈LK, 则存在l'∈L, 使f(m')(l')≠
g(m')(l')。 因此H(f)(< l',m'>)=f(m')(l')≠g(m')(l')=H(g)(<l',m'>)。所以, H(f)≠H(g)。 H是单射的。
  再证H是满射的。对任意的j∈(L×M)K, 定义函数f: MLK, 对任意m'∈M, 使 (m')(l')=j(<l',m'>)。 显然, fM(LK), 且
H(f)(<l',m'>)=f(m')(l')=j(<l',m'>),
  所以, jran(H) H是满射的。
  总之, H是双射函数。 M(LK)≈(L×M)K。 (
kl)m=k(l·m)
  定理说明, 对任意基数的运算的性质, 与自然数的运算性质一致。