定义12.3.1 集合A是有限集合, 当且仅当存在n∈N, 使n≈A。 集合A是无限集合当且仅当A不是有限集合, 即不存在n∈N使n≈A。 　　每个自然数n都是比n小的n个自然数的集合, 而且是有限集合。 如果能证明每个有限集合A只与唯一的自然数n等势, 就可以用这个自然数n来表示A的基数。 定理12.3.1 不存在与自己的真子集等势的自然数。 证明 只要证明如下的命题：设n为一个自然数，且f 示单射的，则f 一定是满射的，即ran( f )=n。用数学归纳法证明之。设 　。 （1） 在( )中只有，而为双射的，所以。 （2） 设，下面证明。 　　设，且f为单射的，设，显然是单射的。 　　①n在f 的作用下是封闭的，即，于是由归纳假设可知，ran()=n，由f 的单射性可知，必有f(n)=n，因而 ,故。 　　②n在f 的作用下不封闭，即存在，使得f(m)=n，而，令，且 　　　 　　则n在作用下是封闭的，且是单射的，由①可知，ran()=，可是 ，所以， 。 　　由以上的讨论可知S = N。 　　这个定理就是鸽巢原理。 　　定理说明, 对n∈N, m∈N且┐n≈m。直观上说,把m个鸽子放入n个巢中,若n<m,则至少一个巢中有多于一个鸽子。 推论12.3.2 任何与自己真子集等势的集合是无限集合。N和R都是无限集合。 证明　反证法。若不然，必存在有穷集合A和A的真子集B，使得A≈B，因而存在且f是双射的。由于，因而存在 。 　　另一方面，由于A是有穷集合，因而存在自然数n，使得A≈n，于是又存在且是双射的。并且，而且也是双射的。取，且dom(h)=n，并且h是单射的。可是，由于，所以，从而，但是，于是，即h是n与n的真子集间的双射函数，这就导致了自然数n与自己的真子集等势，这矛盾于定理12.3.1。 推论12.3.3 任何有限集合只与唯一的自然数等势。 证明 设A为一个有限集合，若存在自然数n，m，使得A≈n且A≈m，由定理12.2.2可知n≈m。由N上的三歧性可知，对此n和m，m∈n，m=n，n∈m三式成立且仅成立一式。若m∈n，蕴含，这说明n与自己的真子集m等势，这矛盾于定理12.3.1。类似地，也不可能有n∈m成立，因此只有m=n。