定义定义12.3.1 集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA。 集合A是无限集合当且仅当A不是有限集合, 即不存在nN使nA
  每个自然数n都是比n小的n个自然数的集合, 而且是有限集合。 如果能证明每个有限集合A只与唯一的自然数n等势, 就可以用这个自然数n来表示A的基数。
定理定理12.3.1 不存在与自己的真子集等势的自然数。
证明证明 只要证明如下的命题:设n为一个自然数,f 示单射的,则f 一定是满射的,即ran( f )=n。用数学归纳法证明之。设
 
(1) 在( )中只有,而为双射的,所以
(2) 设,下面证明
  设,且f为单射的,设显然是单射的。
  ①nf 的作用下是封闭的,即,于是由归纳假设可知,ran()=n,由f 的单射性可知,必有f(n)=n,因而
,故
  ②nf 的作用下不封闭,即存在,使得f(m)=n,而,令,且
   
  则n作用下是封闭的,且是单射的,由①可知,ran()=,可是
,所以,
  由以上的讨论可知S = N
  这个定理就是鸽巢原理。
  定理说明, 对nN, mN且┐nm。直观上说,把m个鸽子放入n个巢中,若n<m,则至少一个巢中有多于一个鸽子。
推论推论12.3.2 任何与自己真子集等势的集合是无限集合。N和R都是无限集合。
证明证明 反证法。若不然,必存在有穷集合AA的真子集B,使得AB,因而存在f是双射的。由于,因而存在
  另一方面,由于A是有穷集合,因而存在自然数n,使得An,于是又存在且是双射的。并且,而且也是双射的。取,且dom(h)=n,并且h是单射的。可是,由于,所以,从而,但是,于是,即hnn的真子集间的双射函数,这就导致了自然数n与自己的真子集等势,这矛盾于定理12.3.1。
推论推论12.3.3 任何有限集合只与唯一的自然数等势。
证明证明A为一个有限集合,若存在自然数nm,使得AnAm,由定理12.2.2可知nm。由N上的三歧性可知,对此nmmnm=nnm三式成立且仅成立一式。若mn,蕴含,这说明n与自己的真子集m等势,这矛盾于定理12.3.1。类似地,也不可能有nm成立,因此只有m=n