有限小数补上无限多个0也可看作无限小数。 一个无限小数是一个有限小数序列的极限。 例如, =1.414…是数列 　　　　　1,1.4,1.41,1.414,… 　　的极限。 而且有限小数都属于Q。 利用这种思想, 对任一实数a, 存在有理数的数列, 其极限是a。 我们将限定这种数列是有界非递减的, 极限为a的这种数列也会有很多, 它们组成的一个等价类可以用来表示a。 定义12.1.7 如果f： 满足条件， 　　(1), 　　(2) 　　　, 　　则称f是一个基本函数，或有界非递减函数。当f是一个基本函数时，则函数值 　　　 　　称为一个基本序列，它有时写为 　　　。 　　在以下定义与定理中，B表示所有基本函数的集合。 表示 是一个基本函数。 定理12.1.2 当f：取常数值时，f是基本函数。即对任意的， 　　　 　　　是一个基本序列。 定理12.1.3 存在不是常值函数的基本函数。 　　基本函数实际就是有理数的数列, 定义中条件(1)要求该数列是有界的, 条件(2)要求数列是单调非递减的。 例1 设f：, , 则f是基本函数。相应的基本序列是 　　　　　 例2 设f：, f(0)=1,且当n>0时,。可以证明f是基本函数,且基本序列是1，2，，，…, 　　该序列的极限是e。 定义12.1.8 对基本函数的集合B，定义B上的关系≌为，对任意的f，， 　　　　当且仅当 　　 　　. 　　直观上说,f ≌ g等价于f 和g 的序列的极限相同。 定理12.1.4 B上的关系≌是等价关系。 　　自反性和对称性显然成立。传递性的证明可以由有理数的下列不等式 　　　　 　　得到。 例3 对例1中的和 , 显然有f ≌ g。 定理12.1.5 设f：和g：都是常值函数，且，则 。 证明 假设f(n)=r1, g(n)=r2, r1≠r2. 不失一般性, 设r1<r2, 取。对任意的m∈N, |f(m)-g(m)=|r1-r2|=ε, 则|f(m)-g(m)|<ε都不成立。f ≠ g。所以,r1=r2, f = g。 定义12.1.9 令，即R是集合B对等价关系≌的商集，则称R的元素为实数，称R为实数集合。 　　在定义中, 用极限相同的那些基本函数组成的一个等价类定义一个实数, 该实数就是这些基本函数的序列共同的极限。 　　任一x∈R, x是一些基本函数组成的一个等价类。 如果在等价类x中有一个常值函数f(n)=r, 就用r表示x, 并称x为一个有理数; 如果在等价类x中不存在常值函数, 就称x为一个无理数。 　　下面在B和R上定义次序关系。 定义12.1.10 在B上定义小于关系为，对任意的f，，满足 　　　　当且仅当 　　　 　　　 　　在B上定义小于关系为，对任意的f，，满足 　　　当且仅当 　　　 　　直观上说, f≤Bg等价于f 的极限小于等于g的极限。 定义12.1.11 在R上定义小于等于关系和小于关系为，对任意的 f，即对和， 　　　当且仅当 ， 　　　当且仅当 。 　　第九章和这一节定义了集合N、Z、Q和R,也定义了集合上的次序关系。在这些集合上还可以定义加法和乘法等运算,本课程就不介绍了。