定义12.1.4 （等价关系≌） 对整数集合Z，令 　　，并称是Z上的因式的集合。对，可以用代替 。在上定义关系≌为，对任意的 ，， 　　　　当且仅当 　　其中是在Z上定义的乘法，＝是Z上的相等关系。 　　显然, 0/1, 1/2, 2/4, 3/6, 都是Q1的元素, 1/0不是Q1的元素。 且1/2≌2/4。 定理12.1.1 上的关系≌是等价关系。 证明 对任意的a/b、c/d、e/f∈Q1， 　　(1) 因a×b=b×a, 则a/b≌a/b。 所以, ≌是自反的。 　　(2) 若a/b≌c/d, 则a×d=b×c, 则c×b=d×a,则c/d≌a。b。所以,≌是对称的。 　　(3) 若a/b≌c/d且c/d≌e。f, 则a×d=b×c且c×f=d×e。 所以a×d×c×f=b×c×d×e。 因为d≠0, 则a×c×f=b×c×e。 若c≠0, 则a×f=b×e, a/b≌e/f。 若c=0, 则a=0, 且e=0, 也有a/b≌e。f。 所以, ≌是传递的。 定义12.1.5 （有理数集合），即Q是集合对等价关系≌的商集，则称Q的元素为有理数，一般用a/b表示中的元素 ，并习惯上取a、Ｂ是互素的整数，且 。 　　　　　如1/2=[<1,2>]≌={1/2,-1/-2,2/4,…,}。 定义12.1.6 在Q上定义等于关系为，对任意的a/b，， 　　　　当且仅当 。 　　在Q上定义小于关系为，对任意的a/b， ， 　　　当且仅当