怎样比较两个无限集合的大小呢?
  对实数集R和正实数集R+, 显然R+R。 似乎RR+的元素多, 然而可以建立双射函数
   
  因此, 对任意的xR, 存在唯一的yR+, 使y=ex; 并且对任意的yR+, 存在唯一的xR, 使 y=ex。 这说明, 双射函数fR的元素和R+的元素之间建立了一一对应。 R的元素不比R+多, R+的元素也不比R多。 应该说这两个集合有同样多的元素, 它们的基数相同。
  判定两个无限集合基数是否相同, 将采用类似的方法, 看能否建立两个集合间的双射函数。 对有限集合, "数元素个数"的方法实质上也是建立双射函数。 对有限集合A, 如果存在自然数n={0,1,2,…,n-1}, 可定义双射函数f: An, 则A的基数是n。 双射函数将是研究集合基数的主要工具。

定义定义12.1.1 对自然数集合N, 令
   
   (见下面定义12.1.2)
   
  即称Z+的元素为正整数, Z-的元素为负整数, Z的元素为整数。
  自然数集合N的定义参见9.7.4节。
定义定义12.1.2 一个整数的相反数分别是
  
  
  
  在集合N上已定义了小于等于关系≤和小于关系<。 为了区别,下面把N上的≤记作,把N上的<记作
定义定义12.1.3 在集合Z上定义小于等于关系为,对任意的
   当且仅当
  
  
  在集合Z上定义小于关系为,对任意的 ,
   当且仅当.