怎样比较两个无限集合的大小呢?
对实数集R和正实数集R+,
显然R+ R。
似乎R比R+的元素多,
然而可以建立双射函数

因此, 对任意的x∈R,
存在唯一的y∈R+,
使y=ex;
并且对任意的y∈R+,
存在唯一的x∈R,
使 y=ex。
这说明, 双射函数f在R的元素和R+的元素之间建立了一一对应。
R的元素不比R+多,
R+的元素也不比R多。
应该说这两个集合有同样多的元素, 它们的基数相同。
判定两个无限集合基数是否相同, 将采用类似的方法, 看能否建立两个集合间的双射函数。 对有限集合, "数元素个数"的方法实质上也是建立双射函数。
对有限集合A,
如果存在自然数n={0,1,2,…,n-1},
可定义双射函数f:
A→n,
则A的基数是n。
双射函数将是研究集合基数的主要工具。
定义12.1.1
对自然数集合N,
令

(见下面定义12.1.2)

即称Z+的元素为正整数,
Z-的元素为负整数,
Z的元素为整数。
自然数集合N的定义参见9.7.4节。
定义12.1.2
一个整数的相反数分别是



在集合N上已定义了小于等于关系≤和小于关系<。 为了区别,下面把N上的≤记作 ,把N上的<记作 。
定义12.1.3
在集合Z上定义小于等于关系 为,对任意的 ,
当且仅当


在集合Z上定义小于关系 为,对任意的
,
当且仅当 .
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