怎样比较两个无限集合的大小呢? 　　对实数集R和正实数集R+, 显然R+R。 似乎R比R+的元素多, 然而可以建立双射函数 　　　 　　因此, 对任意的x∈R, 存在唯一的y∈R+, 使y=ex; 并且对任意的y∈R+, 存在唯一的x∈R, 使 y=ex。 这说明, 双射函数f在R的元素和R+的元素之间建立了一一对应。 R的元素不比R+多, R+的元素也不比R多。 应该说这两个集合有同样多的元素, 它们的基数相同。 　　判定两个无限集合基数是否相同, 将采用类似的方法, 看能否建立两个集合间的双射函数。 对有限集合, "数元素个数"的方法实质上也是建立双射函数。 对有限集合A, 如果存在自然数n={0,1,2,…,n-1}, 可定义双射函数f: A→n, 则A的基数是n。 双射函数将是研究集合基数的主要工具。 定义12.1.1 对自然数集合N, 令 　　　 　　　（见下面定义12.1.2） 　　　 　　即称Z+的元素为正整数, Z-的元素为负整数, Z的元素为整数。 　　自然数集合N的定义参见9.7.4节。 定义12.1.2 一个整数的相反数分别是 　　 　　 　　 　　在集合N上已定义了小于等于关系≤和小于关系<。 为了区别,下面把N上的≤记作，把N上的＜记作。 定义12.1.3 在集合Z上定义小于等于关系为，对任意的， 　　　当且仅当 　　 　　 　　在集合Z上定义小于关系为，对任意的 , 　　　当且仅当.