【学习目标】
通过本章的学习,应达到如下目标:
1. 了解整数集合、有理数集合和实数集合在集合论中的定义方法。
2. 理解集合等势的概念,掌握判断集合等势的方法。
3. 了解有限集合与无限集合的严格定义,理解两者的本质差别,熟悉集合基数的几种常用表示法。
4. 了解任意基数间的运算规律和性质,熟悉无限集合基数的记法和康托尔定理等主要结果。
5. 了解可数集合的概念和连续统假设的内容以及目前的基本结论。
【学习指南】
本章讨论的主要是无限集合的基数,学习时应注意把握以下几点:
1. 注意理解有限集合与无限集合的本质区别,特别是基数的运算,一些在有限集时满足的运算性质,在无限集时不一定满足。
2. 注意把握自然数集N(包括整数集Z,有理数集Q)与实数集R在集合基数上的区别。前者属无限可数集合,而后者为无限不可数集合。N和R集合的基数分别记为,它们同有限可数集更有本质的区别。
3. 深入理解集合的等势的概念,以及判断两个集合等势的方法。这里要用到第11章讲到的双射函数,但如何在两个无限集合之间构造一个双射函数,仍然需要一定的技巧,需在学习中摸索体会。
4. 连续统假设是一个著名的数学假设,又被称为Hilbert第一问题,学习时要特别注意理解该假设的内容与结论。
【重点和难点】
1.本章涉及的是无穷集的知识。从有穷集过渡到无穷集是本章学习中的特点 ,也是难点之一,必须适应无穷集合的表述方式和定义方法,区别不同的无穷集合。
2.集合等势的概念不难理解,难点在于如何在两个集合(特别是无穷集合)之间构造一个双射函数,有些构造过程且有一定难度,但它是判断集合等势的主要方法,应作为重点掌握。
3.典型的无穷集合的基数结果必须熟记,包括自然数集、实数集以及集合的幂集的基数。无穷集基数的算术运算大部分与通常的自然数运算规则相同,但也有少数例外,这些例外的情形恰恰反映了无穷集的某些特点是重点掌握的内容。
4.有限可数集、无限可数集和无限不可数集是不同类型的集合,且有某些本质上的差别,应作为学习时的重点深入理解。
5.连续统假设是本章所涉及的重要内容与结论,包括已知基数的排列次序都不难理解,应作为重点掌握和记忆。
【预习思考题】
1. 无限集合的基数应该如何定义?
2. 一个无限集合的无穷子集是否与原集合的基数相同?
3. 实数集的基数是否与自然数集的基数相同?
4. 怎样判断两个集合的基数是否相等?
5. 什么是连续统假设?