定义11.1.10 已经对集合的特征函数作了规定。设E是全集，对的特征函数是 　　　　 　　特征函数有下列性质，其中＋，－，＊是算术加、减、乘法。 定理11.5.1 设E是论域，，，则 　　(1) , 　　(2) , 　　(3) , 　　(4)， 　　(5), 　　(6), 　　(7), 　　(8) 证明 只证（5），其余留作思考题。 　　（5） 　　　　　 　　　　　， 　　此外 　　　　　 　　　　　。 　　所以，结论得证。 　　利用特征函数的性质，可以证明集合恒等式。 例1 对集合A,B和C，证明 　　　。 证明 　　　　　 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　。 　　于是依（4），结论得证。 　　注意，证明中使用的很容易证明。 　　设，E的子集是：。试给出E的所有特征子集的特征函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。 　　解 E的任何子集A的特征函数的值由下表给出： 　　如果规定元素的次序为a，b，c，则每个子集A的特征函数与一个三位二进制数相对应。如。另，那么上表亦可看作从E的幂集到B的一个双射。