定义11.4.2 对实数集R，＜是R上的小于关系，是R上的距离函数，若，且，则集合 　　　 　　称为的邻域。 定义11.4.3 对实数集R，，，如果在的任一个邻域中，都存在不等于的元素x，且，则称是A的一个极限点（或凝聚点）。 　　定义的条件可以写成 　　 　　是A的极限点意味着，A中的元素可以无限接近，即存在一个A的不含有的子集，可以排列成极限为的序列。直观地说，在附近，A的点是稠密的。不一定在A中。 例1 对，其中，开区间A中的元素和都是A的极限点，即A的极限点的集合是。 对，其中，闭区间A的极限点的集合是A。 例2 对的极限点是0。 　　空集没有极限点。有限集合没有极限点。有理数集Q的极限点集合是实数集R，因为在任一实数附近，有理数和无理数都是稠密的。 定理11.4.1 对实数集R，，，是A的极限点当且仅当在A中存在点列 　　　 　　使得 。 定理11.4.2 若是有界无限集，则A具有极限点。 例3 设则A没有极限点。 定义11.4.4 对实数集R，，，若不是A的极限点，则称为A的孤立点。 　　A的极限点可以在A中，也可不在A中。A的孤立点一定在A中。A中的点，或为A的极限点，或为A的孤立点。 定义11.4.5 对实数集R，，A的所有极限点的集合称为A的导集，记作A'。如果，则称A为闭集。 　　对于闭集A，导集A'是A的子集，即A的极限点都在A中。 　　另外具有以下性质： 　　A的闭包为； 　　中的点叫A的孤立点； 　　当时，A叫闭的； 　　当时，A叫自密的； 　　当时，A叫完全的，换句话说，没有孤立点的闭集叫完全集。 　　导集具有以下性质： 　　（3） 因为空集没有极限点，所以有 　　　　　； 　　（4） 对任一点p，是空的，所以有 　　　　　 　　（5） 若，则显然有 　　　　　 　　（6） 若表示A的导集的导集，令，那么 　　　　　所有开集，，因此有一点 ， 由于，，所以， ， 　　因而有 。 　　（5） 。 例4 对则 　　　　不是闭集。 　　　　是闭集。 　　　　是闭集。 　　　　不是闭集。 　　因为，所以是闭集。因为，所以有理数集不是闭集。因为，所以是闭集。 定理11.4.3 对实数集R，，则A'是闭集，即。 定理11.4.4 任意个闭集的交集是闭集。有限个闭集的并集是闭集。 　　若一族闭集合，它们的交为F， 　　设x不属于F，则 　　　x至少不属于中的某一集合，譬如，因为为闭集，故有，使 中没有一点和x点的距离小于。 　　显然F中没有一点和x点的距离小于。 　　因而F为一闭集。 例5 设，其中都是闭集。但是不是闭集。由此可见，无限个闭集的并集不一定是闭集。