定义定义11.3.1 ,如果对任意的,都有,就说是相容的。


定义定义11.3.2 是由一些函数组成的集合,如果中任意两个函数都是相容的,就说是相容的。
例题例1 ,其中
  
  于是,相容,相容,但不相容。所以不是相容的。
定理定理11.3.1 设,则是相容的当且仅当是函数。
证明证明 先假设是相容的。对任意的
  
  有。对于,有 。并对任意的,若,则
   。对于,类似地有。并对任意的,若 ,则。此外,对于,由相容性 ,故 。并对任意的 ,若 ,则
  对任意的,有 。当,存在,使 。当,存在,使,使 。所以, 是函数。
  其次假设是函数。而不是相容的,则存在,使。于是有;又有
,然而,这与是函数矛盾。所以,是相容的。
定理定理11.3.2 ,则是相容的当且仅当
  
  证明可以由定义11.3.1得到。
定理定理11.3.3 对函数的集合,若是相容的,且,则是函数,且
证明证明 先证是一个关系。对任意的,存在,且。因为是函数的元素,所以是有序对,所以是一个关系。
   再证是一个函数。对任意的,若,则存在,使。因为是相容的,则是相容的,且有,所以。所以,
  最后是关于定义域的证明。首先,对任意的,存在,使,即。于是,存在使。因此,
   。其次,对任意的。存在使。则存在 使 。于是,
  。总之,
  定理说明,由一个相容的函数集合,可以构造一个函数,这个开拓了中所有的函数。