定义11.3.1
设 : , : ,如果对任意的 ,都有 ,就说 和 是相容的。
定义11.3.2
设 是由一些函数组成的集合,如果 中任意两个函数 和 都是相容的,就说 是相容的。 例1
设 ,其中
于是, 与 相容, 与 相容,但 与 不相容。所以 不是相容的。 定理11.3.1 设 : , : ,则 和 是相容的当且仅当 是函数。 证明
先假设 和 是相容的。对任意的 有 或 。对于 ,有 。并对任意的 ,若 ,则 。对于 ,类似地有 。并对任意的 ,若 ,则 。此外,对于 ,由相容性 ,故 。并对任意的 ,若 ,则 。 对任意的 ,有 。当 ,存在 ,使 。当 ,存在 ,使 ,使 。所以, 是函数。 其次假设 是函数。而 与 不是相容的,则存在 ,使 。于是有 ;又有 ,然而 ,这与 是函数矛盾。所以, 与 是相容的。 定理11.3.2
设 : , : ,则 与 是相容的当且仅当 。 证明可以由定义11.3.1得到。
定理11.3.3 对函数的集合 ,若 是相容的,且 ,则 是函数 ,且 证明
先证 是一个关系。对任意的 ,存在 ,且 。因为 是函数 的元素,所以 是有序对,所以 是一个关系。 再证 是一个函数。对任意的 ,若 且 ,则存在 和 ,使 且 。因为 是相容的,则 与 是相容的,且有 ,所以 。所以, 。 最后是关于定义域的证明。首先,对任意的 ,存在 ,使 ,即 。于是,存在 使 。因此, 。其次,对任意的 。存在 使 。则存在 使 。于是, 。总之, 。 定理说明,由一个相容的函数集合 ,可以构造一个函数 ,这个 开拓了 中所有的函数。 |