一个关系的逆不一定是函数, 一个函数的逆也不一定是函数.
　例3 对A={a,b,c}. A上的关系R为
　　　　　R={<a,b>,<a,c>,<a,a>},
　　从A到A的函数f为
　　　　　f={{<a,c>,<b,c>,<c,a>}.
　　则它们的逆为
　　　　　R-1={<b,a>,<c,a>,<a,a>}是A到A的函数,
　　　　　f-1={<c,a>,<c,b>,<a,c>}不是A到A的函数.

若f：A→B是双射的，则f_-1 是函数f_-1 ：B→A 。
证明:
　　对任意的y∈B, 因为f是双射的, 所以存在x∈A, 使<x,y>∈f, <y,x>∈f_-1. 所以, dom(f_-1)=B.
　　对任意的y∈B, 若存在x₁,x₂∈A, 使得<y,x₁>∈f_-1且<y,x₂>∈f_-1, 则<x₁,y>∈f且<x₂,y>∈f. 因为f是双射的, 故x₁=x₂.所以, f-1是函数f_-1:B→A.
　　定义11.2.1 设f：A→B 是双射的，则称f_-1 ：B→A为 的反函数。


若f：A→B是双射的，则f_-1：B→A 是双射的。
证明:
　　对任意的x∈A, 因为f是从A到B的函数, 故存在y∈B, 使<x,y>∈f, <y,x>∈f_-1. 所以,f_-1是满射的.
对任意的x∈A, 若存在y₁,y₂∈B, 使得<y₁,x>∈f_-1且<y₂,x>∈f_-1,则有<x,y₁>∈f且<x,y₂>∈f. 因为f是函数, 则y₁=y₂. 所以, f_-1是单射的. 它是双射的.
　　例4 →[-1,1], f(x)=sinx是双射函数. 所以, f-1:[-1,1]→ , f_-1(y)=arc siny是f的反函数.
　　对实数集合R, 正实数集合R+. G:R→R+, g(x)=2x是双射的. 所以, g-1: R+→R, g-1(y)=log2y是g的反函数.


若f：A→B是双射的，则对任意的x∈A，有 ，对任意的y∈B ，有 。
证明:
　　对任意的x∈A, 因为f是函数, 则有<x,f(x)>∈f,有<f(x),x)∈f_-1. 因为f_-1是函数, 则可写为f-1(f(x))=x.
对任意的y∈B, 类似可证f(f_-1(y)=y.
　　由定理, 对任意的x∈A, f_-1(f(x))=x, 则(f_-1of)(x)=x, 于是f_-1of=I^A. 同时也有fof_-1=I^B 。
　　对非双射的函数f:A→B, 是否存在函数g:B→A使gof=I^A呢? 是否存在函数h:B→A使foh=I^B呢?

　定义11.2.2 （函数的左逆和右逆）设f：A→B ，g：B→A，如果 ，则称g 为f 的左逆；如果 ，则称g 为f 的右逆。
　　例5: 设 f¹:{a,b}→{0,1,2},
　　　　　　f²:{a,b,c}→{0,1},
　　　　　　f³:{a,b,c}→{0,1,2}
　　如图11.2.2所示. 则f¹存在左逆g¹, 不存在右逆. f²存在右逆h². 不存在左逆. f³即存在左逆g³, 又存在右逆h³, 且g³=h³= . 如图9.2.2所示.

图 11.2.2


设f： ， ，则
　　（1）f 存在左逆, 当且仅当f是单射；
　　（2）f存在右逆，当且仅当f是满射的；
　　（3）f 存在左逆又存在右逆，当且仅当f是双射的；
　　（4）若f 是双射的，则f的左逆等于右逆。
证明:
　　(1) 先证必要性. 设存在x¹,x^２∈A, 使得f(x¹)=f(x²). 设g为f的左逆, 则
　　　　　　x1=(gof)(x¹)=g(f(x¹))=g(f(x²))
　　　　　　　=(gof)(x²)=x²
　　所以, f是单射的.
　　再证充分性. 因为f是单射的, 所以
　　f:A→rang(f)是双射的. 则f_-1:rang(f)→A也是双射的. 已知, 则a∈A, 构造g:B→A为
　　　　　　　　
　　显然, g是函数g:B→A. 对任一x∈A,
　　　　　　　(gof)(x)=g(f(x))=f_-1(f(x))=x,
　　所以, gof=I^A,g的构造如图11.2.3, 实箭头表示g, 虚箭头表示f.

图 11.2.3
　　　　

　　(2) 先证必要性. 设f的右逆为h:B→A, 有foh=I_B. 则对任意的y∈B, 存在x∈A, 使h(y)=x, 则
　　　　　　　　y=I_B(y)=(foh)(y)=f(h(y))=f(x), 所以, f是满射的.
　　再证充分性. (注意, 不能取h=f^-1, 因为f^-1不一定是函数, 只是关系.) 因为f是满射的, 所以ran(f)=dom(f^-1)=B. 依据选择公理, 对关系f^-1, 存在函数híf^-1, 且有dom(h)=dom(f-1)=B, 且ran(h)íran(f^-1)=A. 即h:B→A, 对任意的y∈B, 存在x∈A, 使h(y)= x且f(x)=y. 则
(foh)(y)=f(h(y))=f(x)=y.
　　所以, foh=I_B, h是f的右逆. H的构造如图11.2.4. 实箭头表示h, 虚箭头表示f.

图 11.2.4
　　　

　　(3) 由(1)、(2)得证.

　　(4) 设f的左逆为g:B→A, 右逆为h:B→A, 则gof=I_A, foh=I_B.
　　　　g=goI_B=go(foh)=(gof)oh=I_Aoh=h
　　所以, g=h。
　　注释：
　　在f是双射的情况下，其实 即是f的左逆，又是f的右逆，并且再无其它的左逆和右逆。
下面的例子帮助理解。
　　例：
　　（1）设f:N→N，且f(x)=2x，试求f的一个左逆；
　　（2）设f:N→(N-{0,1,…,10})，且
　　　　　
　　试求f的一个右逆。
　　（3） 设f:Z→Z，且f(x)=-x，试求f的一个左逆和一个右逆。
　　解：
　　　（1） 由定理12.2.8可知，f的左逆是存在的，并且可以有多个。令
　　　　　
　　　　则g₁是f的一个左逆，对于任意的x∈N，
　　　　　
　　所以， ，故g₁是f的一个左逆。
　　取
　　　
　　　 （2） 由定理12.2.8可知，f的右逆是存在的，取
　　　　　　h:(N-A)→N，其中A={0,1,…,10}，且
　　　　　
　　　则对于任意的y∈N-A，
　　　　　　
　　　可知
　　　其实还可以构造出不同的f的右逆。
　　　（3）因为f是双射的，由定理12.2.8可知，f的左逆，右逆均存在且相等，并且均
　　　，。