设g： ， f： ，
(1) 若 f，g 是满射的，则 是满射的，
(2) 若f，g是单射的，则 是单射的，
(3) 若f，g是双射的，则是双射的。
证明:
　　(1) 对任意的z∈C, 因为f是满射的, 故y∈B, 使f(y)=z. 对这个y∈B, 因为g是满射的, 故x∈A, 使g(x)=y. 所以z=f(y)=f(g(x))=(fog)(x). fog是满射的.
　　(2) 对任意的z∈ran(fog), 若存在x1,x2, 使(fog)(x1)=z且(fog)(x2)=z. 则存在y1,y2,使x1gy1∧y1fz且x2gy2∧y2fz. 因为f是单射的, 故y1=y2; 又因g是单射的, 故x1=x2. 所以, fog是单射的.
　　(3) 由(1)、(2)得证.
　　这个定理的逆定理是否成立呢? 请看下列定理.

设 g： ，f ： ，
(1) 若 是满射的，则f是满射的，
(2) 若是单射的，则g是单射的，
(3) 若是双射的，则f是满射的， 是单射的。
证明:
　　(1) 对任意的z∈C, 因为fog是满射的, 故x∈A, 使x(fog)z. 则$y∈B, 使xgy∧yfz. 则y∈B, 使f(y)=z. f是满射的.
　　(2) 对任意的y∈ran(g), 若存在x1,x2∈A, 使x1gy∧x2gy, 即g(x1)=y=g(x2). 对这个y∈B, (因ran(g)íB), 存在z∈C, 使得f(y)=z. 则f(g(x1))=z=f(g(x2)),于是x1(fog)z∧x2(fog)z. 因为fog是单射的, 故x1=x2. 所以, g是单射的.
　　(3) 由(1)、(2)得证.
　　注意, 当fog是满射的, g不一定是满射的; 当fog是单射的, f不一定是单射的。
　　例1 设g:A→B, f:B→C, A={a}, B={b,d}, c={c}.且g={<a,b>},f={<b,c},<d,c>}, 则fog={<a,c>}. fog是满射的, 但是g不是满射的。
　　例2 设g:A→B, f:B→C, A={a}, B={b,d}, C={c}, 且g={<a,b>}, f={<b,c},<d,c>}, 则fog={<a,c>}. fog是单射的, 但是f不是单射的。

设 g： ，则 。
证明：
，且任意 ， ，而 ，对于任意的 ， ，所以 。下面证明 。
对于任意的，
。
所以 。
反之，对于任意 ，
。
所以 ，于是 ，类似可证明 ，因而 。