证明:
(1) 因为g:A→B,则(
x)(x∈A
→
(
y)(y∈B∧<x,y>∈g)). 又因f:B→C, 则(
y)(y∈B→(
z)(z∈C∧<y,z>∈f)). 由任意的x∈A, 存在y∈B有<x,y>∈g, 对y∈B存在z∈C有<y,z>∈f, 因此对x∈A存在z∈C使<x,y>∈g∧<y,z>∈f, 使<x,z>∈fog. 所以dom(fog)=A.
假设对任意的x∈A, 存在y
1
和y
2
, 使得<x,y
1
>∈fog且<x,y
2
>∈fog. 则
(
t
1
)(
t
2
)((xgt
1
∧t
1
fy
1
)∧(xgt
2
∧t
2
fy
2
)).
因为g是函数, 则t
1
=t
2
; 又因f是函数, 则y
1
=y
2
. 所以fog是函数.
(2) 对任意的x∈A, 因为 <x,g(x)>∈g,<g(x),f(g(x))> ∈f,故<x,f(g(x))> ∈fog. 又因fog是函数, 则可写为(fog)(x)=f(g(x)).