例5: f:{1,2}→{0}, f(1)=f(2)=0, 是满射的, 不是单射的. f:N→N,
f(x)=2x, 是单射的, 不是满射的. F:Z→Z, f(x)=x+1, 是双射的.给定两个集合A和B, 是否存在从A到B的双射函数? 怎样构造从A到B的双射函数? 这是两个很重要的问题. 第一个问题在下一章讨论. 下面举例说明第二个问题.
例6: 对下列的集合A和B, 分别构造从A到B的双射函数(1) A=R, B=R. R是实数集.
(2) A=R, B=R+={x|x∈R∧x>0},
(3) A=[0,1),
都是实数区间,(4) A=N×N, B=N.
解：
(1) 令f: R→R, f(x)=x.
(2) 令f:R→R+, f(x)=ex.
(3) 令f:[0,1]
,
.(4) N×N是由自然数构成的所有有序对的集合. 这些有序对可以排列在直角坐标系一个象限中, 构成一个无限的点阵. 如图9.1.1所示. 构造要求的双射函数, 就是在点阵中有序对与N的元素间建立一一对应, 也就是把点阵中有序对排成一列并依次编号0, 1, 2, ….
图 11.1.1
N×N中元素的排列次序是: <0,0>,<0,1>,<1,0>,<0,2>,<1,1>,<2,0>,<0,3>…. 图中用箭头表示次序. 这相当于f(<0,0>)=0, f(<0,1>)=1, f(<1,0>)=2, f(<0,2>)=3, ….
显然, <m,n>所在的斜线上有m+n+1个点. 在此斜线上方, 各行元素分别有1, 2, …, m+n个, 这些元素排在<m,n>以前. 在此斜线上, m个元素排在<m,n>以前. 排在<m,n>以前的元素共有[1+2+…(m+n)]+m个. 于是, 双射函数f:N×N→N为
