定义11.1.1
（函数） 对集合A 到集合B 的关系
，若满足下列条件：(1) 对任意的
，存在唯一的 
，使
成立；(2)
则称
为从A到B的函数，或称把A映射到B
（有的书称为全函数、映射、变换）。一个从A到B的函数
，可以写成：
。这时若，则可记作：
或
。函数的两个条件可以写成
(1)
，(2)
。函数的第一个条件是单值性, 定义域中任一x与B中唯一的y有关系. 因此可以用f(x)表示这唯一的y. 第二个条件是A为定义域, A中任一x都与B中某个y有关系. 注意不能把单值性倒过来. 对A到B的函数f, 当x1fy且x2fy成立时, 不一定x1=x2. 因此, 函数的逆关系不一定是函数.
如果一个关系是函数, 则它的关系矩阵中每行恰好有一个1, 其余为0, 它的关系图中每个A中的顶点恰好发出一条有向边.
另外，
是函数，称其为空函数。若函数
和函数g相等，那么它们的定义域和值域分别相等，即dom(f)=dom(g)，ran(f)=ran(g)，而且对任意的x∈dom(f)=dom(g)，都有f(x)=g(x)。
例1:
对实数集R, R上的关系f为f = {<x,y>|y=x3}
f是从R到R的函数, 记作f:R→R, 并记作f:|→x3或f(x)=x3.
例2:
集合A = {1, 2, 3}上的两个关系g={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}
和 h={<1,2>,<2,3>}
都不是从A到A的函数.
因为g没有单值性, 即<3,1>∈g且有<3,2>∈g, 而对关系h, dom(h)={1,2}≠A. 但是, h是从{1,2}到A的函数.
判别下列关系中哪个能构成函数：
（1）
因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多x2，故这个关系不能构成函数。
（2）
因为一个y1对应两个y2，也不是函数。
（3）
能够成为函数。
定义11.1.2
（从A到B的所有函数的集合AB） 对集合A和B，从A到B的所有函数的集合记为AB（有的书记为BA）。于是，
。例3:
对A={1,2,3},B={a,b}. 从A到B的函数有八个: f1={<1,a>,<2,a>,<3,a>}
f2={<1,a>,<2,a>,<3,b>}
f3={<1,a>,<2,b>,<3,a>}
f4={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
f5={<1,b>,<2,a>,<3,a>}
f6={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
f7={<1,b>,<2,b>,<3,a>}
f8={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
于是 AB={f1,f2,f3,…,f8}
若A和B是有限集合，|A|=m, |B|=n, 则|AB|=nm. 从
到的函数只有f=,
从到B的函数只有f=.
若A≠,
从A到的函数不存在.
因此, =B={},
A=(对A≠).定义11.1.3
设：
， 
，定义A1
在下的象
为
把
称为函数的象。设
，定义B1 在下的完全原象
为
注意, 在上一章f-1表示f的逆关系. 这个定义中的f-1[B1]表示完全原象, 可以认为其中的f1是f的逆关系. 因为函数的逆关系不一定是函数, 所以f-1一般只表示逆关系, 不是逆函数(除非特别说明).
例4:
f: Z→Z 定义为f(x)=
则 f[N]=N, f[{-1,0,1}]={-1,0},
f-1[{2,3}]={4,5,6,7}.
特别地 f[
]=f-1[]=