定义11.1.1 (函数) 对集合A 到集合B 的关系 ,若满足下列条件:
(1) 对任意的 ,存在唯一的 ,使 成立;
(2)
则称 为从AB的函数,或称A映射到B (有的书称为全函数、映射、变换)。一个从AB的函数 ,可以写成 。这时若,则可记作
函数的两个条件可以写成
(1)
(2)
函数的第一个条件是单值性, 定义域中任一xB中唯一的y有关系. 因此可以用f(x)表示这唯一的y. 第二个条件是A为定义域, A中任一x都与B中某个y有关系. 注意不能把单值性倒过来. 对A到B的函数f, 当x1fyx2fy成立时, 不一定x1=x2. 因此, 函数的逆关系不一定是函数.
如果一个关系是函数, 则它的关系矩阵中每行恰好有一个1, 其余为0, 它的关系图中每个A中的顶点恰好发出一条有向边.
另外, 是函数,称其为空函数。

若函数和函数g相等,那么它们的定义域和值域分别相等,即dom(f)=dom(g),ran(f)=ran(g),而且对任意的x∈dom(f)=dom(g),都有f(x)=g(x)
例1: 对实数集R, R上的关系f
f = {<x,y>|y=x3}
f是从RR的函数, 记作f:R→R, 并记作f:|→x3f(x)=x3.
例2: 集合A = {1, 2, 3}上的两个关系
g={<1,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}
h={<1,2>,<2,3>}
都不是从A到A的函数.
因为g没有单值性, 即<3,1>∈g且有<3,2>∈g, 而对关系h, dom(h)={1,2}≠A. 但是, h是从{1,2}到A的函数.
判别下列关系中哪个能构成函数:
(1)
因为x1不能取定义域中所有的值,且x1对应很多x2,故这个关系不能构成函数。
(2)
因为一个y1对应两个y2,也不是函数。
(3)
能够成为函数。

定义11.1.2 (从A到B的所有函数的集合AB) 对集合A和B,从A到B的所有函数的集合记为AB(有的书记为BA)。于是,
例3: 对A={1,2,3},B={a,b}. 从A到B的函数有八个:
f1={<1,a>,<2,a>,<3,a>}
f2={<1,a>,<2,a>,<3,b>}
f3={<1,a>,<2,b>,<3,a>}
f4={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
f5={<1,b>,<2,a>,<3,a>}
f6={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
f7={<1,b>,<2,b>,<3,a>}
f8={<1,b>,<2,b>,<3,b>}

于是 AB={f1,f2,f3,…,f8}
若A和B是有限集合,|A|=m, |B|=n, 则|AB|=nm. 从的函数只有f=, 从到B的函数只有f=. 若A≠, 从A到的函数不存在. 因此, =B={}, A=(对A≠).
定义11.1.3 设,定义A1 在下的象

称为函数的象。
,定义B1 在下的完全原象

注意, 在上一章f-1表示f的逆关系. 这个定义中的f-1[B1]表示完全原象, 可以认为其中的f1是f的逆关系. 因为函数的逆关系不一定是函数, 所以f-1一般只表示逆关系, 不是逆函数(除非特别说明).
例4: f: Z→Z 定义为
f(x)=
f[N]=N, f[{-1,0,1}]={-1,0},
f-1[{2,3}]={4,5,6,7}.
特别地 f[]=f-1[]=