【学习目标】 通过本章的学习，应达到如下目标： 1．理解函数的定义，特别是任意集合上的函数的概念，以及函数与关系的内在联系，深入理解函数的单射、满射和双射的概念。掌握从集合A到集合B构造双射函数的方法。 2．了解函数的合成与函数的逆的概念以及它们与原函数的关系及其性质上的变化，了解函数的相容性的概念。 3．了解距离，极限点，内点等定义，进而理解开集与闭集的概念。了解它们与实数集合上的开区间与闭区间概念的区别。 4．从集合的特征函数与隶属函数入手理解模糊子集的概念，了解模糊子集的运算和主要结论，逐步掌握模糊子集的隶属函数的构造方法。 【学习指南】 1．函数原本是一个基本的数学概念，在离散数学或数学分析中所涉及的函数是在实数集合上讨论的。本章所研究的函数推广了实函数的概念，这里讨论在任意集合上的函数，它们是一些具有特定类型的二元关系。学习时必须把握函数是在关系上定义的这一基本出发点，真正理解函数定义的两个条件（定义11.1.1）。 2．从集合A到B的函数f是一个二元关系，但是从A到B的二元关系R不一定是一个函数，只有当关系R满足定义11.1.1中的两个条件，才能称之为函数。 3．学习时要注意集合A到B的函数的关系矩阵和关系图表示的如下特征：关系矩阵中每一行恰好有一个1，其余元素为0。关系图上集合A中的每个顶点恰好发出一条有向边，重点为集合B中的点。 4．几个具有某种性质的特殊函数需要给与特别关注，它们分别时单射、满射和双射函数。学习时必须在概念上深刻理解，并通过示例掌握从集合A到B的双射函数的构造方法与技巧，这也是下一章判断集合等势的基础。 5．开集与闭集的概念是实数集合上开区间与闭区间概念的推广，可结合实数集上的已有知识加以理解。 6．模糊子集属模糊集合论范畴，它建立在集合的特征函数基础之上并通过隶属函数来表示和描述，学习时应注意将模糊子集与普通集合加以比较并注意隶属函数和概率之间的相应差别。 【重点和难点】 1．任意集合上的函数的概念和函数定义中的两个条件，以及函数的关系矩阵和关系图表示的特征，是本章学习的重点之一。 2．函数的单射、满射和双射的概念尽管容易理解，但同样是本章的重点，特别是从集合A到B的双射函数的构造方法，因需要一定的技巧，更应侧重掌握，在下一章中将用到这一方法。 3．模糊子集中的隶属函数是理解上的重点和难点，它通过集合的特征函数来定义与普通集合有较大区别，模糊子集的运算也在重点理解的范畴。 4．开集与闭集以及函数的相容性等性质在理解上可能会遇到一定困难，不作为本章的重点。 【预习思考题】 1．一个关系应满足哪些条件才成为函数？任意集合上的函数应如何定义？ 2．两个函数的合成是否还是函数？一个函数的逆也一定是函数吗？ 3．从集合A到集合B不同的函数共有多少个？ 4．如何构造从集合A到B的一对一且A到B上的函数（双射）？ 5．如何描述模糊现象，用集合论的方法应如何表示？