定义10.8.1
对非空集合A上的关系R,如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系。
在不会产生误解时,偏序关系R通常记作≤。当 时,可记作 ,读作x"小于等于"y。
这里的小于等于不是指数的大小,而是指它们在偏序位置的先后。例如集合{1,2,3},偏序≤是A上的大于等于关系,则

那么有 , , 。他们分别表示 , , 属于偏序≤。因为≤是{1,2,3}上的大于等于关系,在≤前边的数恰好是比较大的数。
例1
在集合 上的小于等于关系和整除关系,都是偏序关系。对集合A,在 上的包含关系也是偏序关系。
定义10.8.2
对非空集合A上的关系R,如果R是非自反的和传递的,则称R为A上的拟序关系。
在不会产生误解时,拟序关系R通常记作<。当 时,可记作
,读作
"小于" 。
例2
在集合N上的小于关系是拟序关系。对集合A,在 上的真包含关系也是拟序关系。
偏序关系又称弱偏序关系,或半序关系。拟序关系又称强偏序关系。
定理10.8.1
R为A上的拟序关系,则R是反对称的。
证明
假设R不是反对称的。则存在 ,使 且 。由传递性, 。与非自反性矛盾。
有的书上把反对称性也作为拟序关系定义的一个条件。定理表明,这是不必要的。
定理10.8.2
对A上的拟序关系R, 是A上的偏序关系。
证明

(1)对任意的 ,因为
,所以

故 是A上自反的。
(2)对任意的 ,因为 ,则

当 时, 。
当 时, 。如果令有 ,则因R是传递的,故必有 ,这与R是反自反相矛盾。所以当
时,

故 。所以 是反对称的。
(3)对任意的 ,因为 ,则有
故

且
因为R是反自反的,故

即
。故


即 是传递的。
所以 为A上的偏序关系。
定理10.8.3
对A上的偏序关系R, 是A上的拟序关系。
拟序关系和偏序关系的本质区别在于前者具有自反性,后者具有反自反性,但它们可以互相转化的,而他们的共同特性是均具有反对称性和传递性。由于它们类似,只要把偏序关系搞清,拟序关系也容易搞清。以下只讨论偏序关系。
定义10.8.3
集合A与A上的关系R一起称为一个结构。集合A与A上的偏序关系R一起称为一个偏序结构,或称偏序集,并记作 。
例3
和 都是偏序集。
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