定义定义10.8.1 对非空集合A上的关系R,如果R是自反的、反对称的和传递的,则称RA上的偏序关系。
  在不会产生误解时,偏序关系R通常记作≤。当时,可记作,读作x"小于等于"y
  这里的小于等于不是指数的大小,而是指它们在偏序位置的先后。例如集合{1,2,3},偏序≤是A上的大于等于关系,则
    
  那么有。他们分别表示属于偏序≤。因为≤是{1,2,3}上的大于等于关系,在≤前边的数恰好是比较大的数。
例1 在集合上的小于等于关系和整除关系,都是偏序关系。对集合A,在上的包含关系也是偏序关系。
定义定义10.8.2 对非空集合A上的关系R,如果R是非自反的和传递的,则称RA上的拟序关系。
  在不会产生误解时,拟序关系R通常记作<。当时,可记作 ,读作 "小于" 。
例2 在集合N上的小于关系是拟序关系。对集合A,在上的真包含关系也是拟序关系。
  偏序关系又称弱偏序关系,或半序关系。拟序关系又称强偏序关系。
定理定理10.8.1 RA上的拟序关系,则R是反对称的。
证明证明 假设R不是反对称的。则存在,使。由传递性,。与非自反性矛盾。
  有的书上把反对称性也作为拟序关系定义的一个条件。定理表明,这是不必要的。
定理定理10.8.2A上的拟序关系RA上的偏序关系。
证明证明
    
  (1)对任意的,因为 ,所以
   
  故A上自反的。
  (2)对任意的,因为,则
   
  当时,
  当时,。如果令有,则因R是传递的,故必有,这与R是反自反相矛盾。所以当 时,
  
  故。所以是反对称的。
  (3)对任意的,因为,则有
  
  
  且 
  因为R是反自反的,故
  
  即 。故
  
  
  即是传递的。
  所以A上的偏序关系。
定理定理10.8.3A上的偏序关系RA上的拟序关系。
  拟序关系和偏序关系的本质区别在于前者具有自反性,后者具有反自反性,但它们可以互相转化的,而他们的共同特性是均具有反对称性和传递性。由于它们类似,只要把偏序关系搞清,拟序关系也容易搞清。以下只讨论偏序关系。
定义定义10.8.3 集合AA上的关系R一起称为一个结构。集合AA上的偏序关系R一起称为一个偏序结构,或称偏序集,并记作
例3 都是偏序集。