定义10.8.1 对非空集合A上的关系R，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系。 　　在不会产生误解时，偏序关系R通常记作≤。当时，可记作，读作x"小于等于"y。 　　这里的小于等于不是指数的大小，而是指它们在偏序位置的先后。例如集合{1,2,3}，偏序≤是A上的大于等于关系，则 　　　　 　　那么有，，。他们分别表示，，属于偏序≤。因为≤是{1,2,3}上的大于等于关系，在≤前边的数恰好是比较大的数。 例1 在集合上的小于等于关系和整除关系，都是偏序关系。对集合A，在上的包含关系也是偏序关系。 定义10.8.2 对非空集合A上的关系R，如果R是非自反的和传递的，则称R为A上的拟序关系。 　　在不会产生误解时，拟序关系R通常记作<。当时，可记作 ，读作 "小于" 。 例2 在集合N上的小于关系是拟序关系。对集合A，在上的真包含关系也是拟序关系。 　　偏序关系又称弱偏序关系，或半序关系。拟序关系又称强偏序关系。 定理10.8.1 R为A上的拟序关系，则R是反对称的。 证明 假设R不是反对称的。则存在，使且。由传递性，。与非自反性矛盾。 　　有的书上把反对称性也作为拟序关系定义的一个条件。定理表明，这是不必要的。 定理10.8.2 对A上的拟序关系R，是A上的偏序关系。 证明 　　　　 　　（1）对任意的，因为 ，所以 　　　 　　故是A上自反的。 　　（2）对任意的，因为，则 　　　 　　当时，。 　　当时，。如果令有，则因R是传递的，故必有，这与R是反自反相矛盾。所以当 时， 　　 　　故。所以是反对称的。 　　（3）对任意的，因为，则有 　　故 　　 　　且　 　　因为R是反自反的，故 　　 　　即 。故 　　 　　 　　即是传递的。 　　所以为A上的偏序关系。 定理10.8.3 对A上的偏序关系R，是A上的拟序关系。 　　拟序关系和偏序关系的本质区别在于前者具有自反性，后者具有反自反性，但它们可以互相转化的，而他们的共同特性是均具有反对称性和传递性。由于它们类似，只要把偏序关系搞清，拟序关系也容易搞清。以下只讨论偏序关系。 定义10.8.3 集合A与A上的关系R一起称为一个结构。集合A与A上的偏序关系R一起称为一个偏序结构，或称偏序集，并记作。 例3 和都是偏序集。