定义10.6.4 对非空集合A，若存在集合π满足下列条件： （1） ， （2） ， （3）， （4），则称π为A的一个划分，称π中的元素为A的划分块。 　　A的一个划分π，是A的非空子集的集合（即且 的这些子集互不相交，且它们的并集为A。 例5 对集合 。则 　　　 　　和 　　　 　　都是A的划分。为的划分块。但是 　　　　 　　和 　　　　 　　都不是A的划分。 定理10.6.2 对非空集合A上的等价关系R，A的商集就是A的划分，称为由等价关系R诱导出的A的划分，记作 。 　　证明可以由定义10.6.3、定义10.6.4和定理10.6.1直接得到。 　　上面说明，由A上的等价关系R可以诱导出A的一个划分。下面考虑，由A的一个划分如何诱导出A上的一个等价关系。 定理10.6.3 对非空集合A上的一个划分π，令A上的关系为 　　　　 　　则为A上的等价关系，它称为划分π诱导出的A上的等价关系。 定理10.6.4 对非空集合A上的一个划分π，和A上的等价关系R，π诱导R当且仅当R诱导π。 证明 先证必要性。若π诱导R，且R诱导π '。对任意的，设x在π的划分块B中，也在π '的划分块B '中。对任意的，有 　　　　（且π诱导R） 　　　　（R为等价关系） 　　　　　　（且R诱导π '） 　　所以， 。由x的任意性， 。 　　再证充分性。若R诱导π，且π诱导R ' 。对任意的，可得 　　　 　　和y在π的同一划分块中 　　 　　所以， 。 　　由定理可知，集合A 的划分和A上的等价关系可以建立一一对应。 例6 在集合上求出尽可能多的等价关系。 　　先求A的所有划分，如图10.6.3所示。 图10.6.3 　　 　　于是可得到5个等价关系。 　　， 　　， 　　， 　　， 　　。 　　如何求出非空集合A的全部划分呢？建立数学模型如下： 　　将n个不同的球放入r个相同的盒中去，并且要求无空盒，问有多少种不同的方法？这里要求。 　　不同的放球方法数即为n元素A的不同的划分数。利用组合数学中的第二类Stirling数。 　　设表示将n个不同的球放入r个相同的盒中的方案数，称为第二类Stirling数，它有下面性质： 　　1． 　　2．满足如下的递推公式： 　　　 例 问集合上有多少个不同的等价关系？ 　　解: A上共有个二元关系，从中找出等价关系太困难，利用上述定理可先求出A上的全部划分，A上的等价关系也就容易求出了。 　　显然，不同的划分个数为 　　　 　　因而，A上共有15个不同的等价关系。