定理10.5.7 对非空集合A上的关系R，有 　　　 证明 对任意的，于是，所以是A上自反的。显然，所以是包含R的自反关系。对A上任意的自反关系，如果，则对任意的，若，则或者，或者。当，由有。若，则，由的自反性有。两种情况都有。因此，。总之， 满足的定义，。 　　由定理可知，很容易构造R的自反闭包，只要把所有的构成的加入R中。若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为，那么 　　　　 　　其中E是与M同阶的单位矩阵。另外在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。 　　若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为，则的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外，依下述方法添加新的边。 　　考察G的每个顶点，如果没有环就加上一个环，最终得到的是。 定理10.5.8 对非空集合A上的关系R，有 　　。 证明 对任意的，可得 　　 　　 　　所以， 是A上对称的关系。 　　显然有 。 　　对A上任意的包含R的对称关系 ，对任意的，若，则或，当，由 。当，则，，因是对称的，故。两种情况都有，则。 　　总之，满足的定义，所以 。 　　由定理可知，很容易构造R的对称闭包，只要对任何且把 加入R中。 　　若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为，那么 　　　　 　　其中是M的转置矩阵。另外在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。 　　若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为则的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外，依下述方法添加新的边。 　　考察G的每一条边，如果有一条到的单向边，，则在G中加一条到的反方向边，最终得到的是。 定理10.5.9 对非空集合A上的关系R，有 　　　。 证明 先证 。为此只要证明对任意的，有。施归纳于n。 　　当时， 。 　　假设时有 。令，对任意的有 　　 　　 　　 　　 　　所以， 。由归纳法，对，有。于是 。 　　再证 。对任意的和，可得 　　　 　　　 　　其中s和t是非零自然数 　　　 　　　 　　　 　　所以， 是传递的，此外它包含R。所以 　　　 　　总之， 。 　　通常简写为 　　　， 　　而且 　　。 　　定理10.5.3指出，在中只有有限个不同的合成关系。所以在计算时，可以只用有限个合成关系。 　　若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为，那么 　　　　　 　　在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。 　　若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为，则的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外，依下述方法添加新的边。 考察G的每个顶点，找出从出发的所有2步，3步，…，n步长的路径（n为G中的顶点数）。设路径的终点为。如果没有从到（l=1,2,…,k）的边，就加上这条边，当检查完所有的顶点后最终得到的是。