定理定理10.5.7 对非空集合A上的关系R,有
   
证明证明 对任意的,于是,所以A上自反的。显然,所以是包含R的自反关系。对A上任意的自反关系,如果,则对任意的,若,则或者,或者。当,由。若,则,由的自反性有。两种情况都有。因此,。总之, 满足的定义,
  由定理可知,很容易构造R的自反闭包,只要把所有的构成的加入R中。若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为,那么
    
  其中E是与M同阶的单位矩阵。另外在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。
  若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为,则的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外,依下述方法添加新的边。
  考察G的每个顶点,如果没有环就加上一个环,最终得到的是
定理定理10.5.8 对非空集合A上的关系R,有
  
证明证明 对任意的,可得
  
  
  所以, A上对称的关系。
  显然有
  对A上任意的包含R的对称关系 ,对任意的,若,则,当,由 。当,则,因是对称的,故。两种情况都有,则
  总之,满足的定义,所以
  由定理可知,很容易构造R的对称闭包,只要对任何 加入R中。
  若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为,那么
    
  其中是M的转置矩阵。另外在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。
  若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外,依下述方法添加新的边。
  考察G的每一条边,如果有一条的单向边,,则在G中加一条的反方向边,最终得到的是
定理定理10.5.9 对非空集合A上的关系R,有
   
证明证明 先证 。为此只要证明对任意的,有。施归纳于n
  当时,
  假设时有 。令,对任意的
  
  
  
  
  所以, 。由归纳法,对,有。于是
  再证 。对任意的,可得
   
   
  其中st是非零自然数
   
   
   
  所以, 是传递的,此外它包含R。所以
   
  总之,
  通常简写为
   
  而且
  
  定理10.5.3指出,在中只有有限个不同的合成关系。所以在计算时,可以只用有限个合成关系。
  若通过关系矩阵构造R的自反闭包。设关系的关系矩阵分别为,那么
     
  在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加。
  若通过关系图构造R的自反闭包。设关系的关系图分别为,则的顶点集与G的顶点集相等。除了G的边以外,依下述方法添加新的边。
考察G的每个顶点,找出从出发的所有2步,3步,…,n步长的路径(n为G中的顶点数)。设路径的终点为。如果没有从(l=1,2,…,k)的边,就加上这条边,当检查完所有的顶点后最终得到的是