定理10.5.4
对非空集合A上的关系R，有（1）R是自反的
，（2）R是对称的
，（3）R是传递的
。
证明（1）先设R是自反的。因为
，且任何包含R的自反关系
，有
。所以，R满足
的定义，
。再设
。由的定义，R是自反的。（2）和（3）的证明类似。
定理10.5.5
对非空集合A上的关系
，若
，则（1）
，（2）
，（3）
。证明留作思考题。
定理10.5.6
对非空集合A上的关系，则（1）
，（2）
，（3）
。证明（1）因为
和
都是A上自反的关系，所以
是A上自反的关系。由
和
，有
。所以
是包含
的自反关系。由自反闭包定义，
。因为
，有
。类似地
。则
。（2）和（3）的证明留作思考题。
注意，定理的结论（3）是包含关系，不是相等关系。下面是真包含的例子。
例4
集合
上的关系
和
为，
。于是，
。则有
。但是
显然
