定义10.5.1
对A上的关系R，
，关系R的n次幂
定义如下：（1）
，（2）
。
注意，n个关系R的合成简写为
，n个集合A的笛卡儿积经常也简写为
。二者的概念不同，却使用了相同的表示。应该注意应用的场合，以免理解错误。
例1
集合
上的关系R为
。则
的关系图如图10.5.1所示。 
图
10.5.1 
在例1中有一种有意义的现象，
和 
。这种现象是否普遍存在呢？下面考虑这个问题。定理10.5.1
设A是有限集合，
，R是A上的关系，则存在自然数s和
，使得
。
证明
对
都是A上的关系，它们都是
的元素。因
，则
。列出R的各次幂，
。由鸽巢原理，至少有两个幂是相等的，即存在自然数s和，使
。（注：鸽巢原理是组合学的基本原理。它指出：如果
个物体放入n个盒子里，则有一个盒子中有两个物体。）定理10.5.2
设A是有限集合，R是A上的关系，m和n是非零自然数，则（1）
，（2）
。证明（1）对任意的m，施归纳于n。
当n=1时，
。假设
时结论成立，即有
。令
，则
所以，结论得证。
（2）对任意的m，施归纳于n。
当n=1时，
。假设
时有
。令
，则
所以，结论得证。
定理10.5.3
设A是有限集合，R是A上的关系，若存在自然数s和t，
，使得
，则（1）
，
其中k为自然数；（2）
，k和i为自然数，
；（3） 令
，则R的各次幂均为B的元素，即对任意的自然数
，有
。证明（1）
。（2）施归纳于k。
当
时，
，假设
时有
，其中
。令
，
。所以，结论得证。
（3）若
，由B的定义，
。若
，则
。一定存在自然数k和i，使得
，其中
。于是，
。此外，
。所以，
。例2
对例1中的关系R，
。于是对应的
。
。R的幂中不相同的只有以上4种。