定义定义10.5.1 A上的关系R,关系Rn次幂定义如下:
  (1)
  (2)
  注意,n个关系R的合成简写为n个集合A的笛卡儿积经常也简写为。二者的概念不同,却使用了相同的表示。应该注意应用的场合,以免理解错误。
例题例1 集合上的关系R
   
  则 的关系图如图10.5.1所示。

图示图 10.5.1

  
  在例1中有一种有意义的现象,。这种现象是否普遍存在呢?下面考虑这个问题。
定理定理10.5.1A是有限集合,RA上的关系,则存在自然数s,使得
证明证明 都是A上的关系,它们都是 的元素。因,则。列出R的各次幂, 。由鸽巢原理,至少有两个幂是相等的,即存在自然数s,使
(注:鸽巢原理是组合学的基本原理。它指出:如果个物体放入n个盒子里,则有一个盒子中有两个物体。)
定理定理10.5.2A是有限集合,RA上的关系,mn是非零自然数,则
  (1)
  (2)
证明证明
  (1)对任意的m,施归纳于n
   当n=1时,
  假设时结论成立,即有 。令,则
  
  
  所以,结论得证。
  (2)对任意的m,施归纳于n
  当n=1时,
  假设时有 。令,则
  
  
  所以,结论得证。
定理定理10.5.3 A是有限集合,RA上的关系,若存在自然数st ,使得 ,则
  (1), 其中k为自然数;
  (2)ki为自然数, ;
  (3) 令 ,则R的各次幂均为B的元素,即对任意的自然数 ,有
证明证明
  (1)
  (2)施归纳于k
  当时,
  假设时有,其中。令
  
        
       
  所以,结论得证。
  (3)若,由B的定义,
    若,则 。一定存在自然数ki,使得,其中。于是, 。此外,。所以,
例题例2 对例1中的关系R 。于是对应的R的幂中不相同的只有以上4种。