定理10.4.1 ， 是A上自反的关系，则 、 、也是A上自反的关系。 证明 对任意的x，有 　　 　　 　　所以， 是A上自反的关系。 　　对和的证明类似。 定理10.4.2 、是A上对称的关系，则 、 、也是A上对称的关系。 证明 对任意的，有 　　 　　 　　所以，是A上对称的关系。 　　对和的证明类似。 定理10.4.3　 、是A上传递的关系，则 、是A上的传递关系。 证明 对任意的，有 　　 　　 　　 　　所以，是A上传递的关系。 　　 　　 　　 　　 　　所以，是A上传递的关系。 　　注意，不一定是传递的。 例10 在上的关系都是A上传递的关系。但是，不是A上传递的。 定理10.4.4 ，是A上反对称的关系，则 、是A上反对称的关系。 证明 为了证明方便，把反对称性的充要条件等价地改写为 　　 　　对任意的，有 　　 　　 　　所以，是A上反对称的。 　　 　　 　　 　　 　　 　　所以，是A上反对称的。 　　注意，这时不一定是反对称的。 例11 在上的关系都是A上反对称的。但是，不是 上A反对称的。 定理10.4.5 对A上的关系R，则 　　（1） R是对称的，可得 　　（2） R是反对称的。 证明 　　（1）先设R是对称的，对任意的，可得 　　， 　　所以， 。 　　再设，对任意的，可得 　　 　　所以，R是对称的。 　　（2）先设R是反对称的，对任意的，可得 　　， 　　 　　 　　所以， 。 　　再设，对任意的，可得 　　 　　 　　 　　 　　所以，R是反对称的。