定义10.4.1
对A上的关系R,若对任意的 都有 ,则称R为A上自反的关系;若对任意的 都有xRx,则称R为A上非自反的关系
这个定义也可以写成:
在A上是自反的
在A上是非自反的
如果R是A上自反的,则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是1(即 都1),关系图G(R)的每个顶点都有自圈。如果R是A上非自反的,则M(R)的主对角线元素都是0,G(R)的每个顶点都没有自圈。
例1
在非空集合A上的恒等关系 和全关系 都是自反的。
在集合 上的整除关系 和小于等于关系 都是自反的。
在集合A的幂集 上的包含关系 和相等关系=都是自反的。
这些关系都不是非自反的。
例2
在非空集合A上的空关系 是非自反的。在集合N上的小于关系<是非自反的。在集合A的幂集 上的真包含关系 是非自反的。
这些关系都不是自反的。
例3
在集合 上的关系

不是自反的,也不是非自反的。但是在非空集合A上,不存在一个关系,它是自反的又是非自反的。
定义10.4.2
设R为集合A上的关系,对任意的 ,若 ,则称R为A上对称的关系;若 ,则称R为A上反对称的关系。
这个定义也可以写成
R在A上是对称的
R在A上是反对称的

反对称性的另一种等价的定义为
R在A上是反对称的

如果R是A上对称的,则M(R)是对称矩阵(对任意的i和j, ),G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边,或者互有有向边 和 (不会只有 没有 )。如果R是A上反对称的,则M(R)是反对称矩阵的(对任意的 ,若 则 ),G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边,或者仅有一条有向边(不会同时有 和 )。
例4
在非空集合A上的全关系是对称的,不是反对称的。
例5
在 上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是反对称的,且不是对称的。
例6
在非空集合A上的恒等关系和空关系都是对称的,也都是反对称的。
例7
在集合 上的关系

不是对称的,也不是反对称的。
例6和例7说明,对称性和反对称性既可以同时满足,也可以都不满足。
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