定义定义10.4.1
A上的关系R,若对任意的都有,则称RA上自反的关系;若对任意的都有xRx,则称RA上非自反的关系
  这个定义也可以写成:
   在A上是自反的
   在A上是非自反的
  如果RA上自反的,则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是1(即都1),关系图G(R)的每个顶点都有自圈。如果RA上非自反的,则M(R)的主对角线元素都是0,G(R)的每个顶点都没有自圈。
例题例1 在非空集合A上的恒等关系和全关系都是自反的。
  在集合上的整除关系和小于等于关系都是自反的。
  在集合A的幂集上的包含关系和相等关系=都是自反的。
  这些关系都不是非自反的。
例题例2 在非空集合A上的空关系是非自反的。在集合N上的小于关系<是非自反的。在集合A的幂集上的真包含关系是非自反的。
  这些关系都不是自反的。
例题例3 在集合上的关系
  
  不是自反的,也不是非自反的。但是在非空集合A上,不存在一个关系,它是自反的又是非自反的。
定义定义10.4.2 R为集合A上的关系,对任意的,若,则称RA上对称的关系;若,则称RA上反对称的关系。
  这个定义也可以写成
  RA上是对称的
  RA上是反对称的
   
  反对称性的另一种等价的定义为
  RA上是反对称的
   
  如果RA上对称的,则M(R)是对称矩阵(对任意的i和j,),G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边,或者互有有向边(不会只有没有)。如果RA上反对称的,则M(R)是反对称矩阵的(对任意的,若),G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边,或者仅有一条有向边(不会同时有)。
例题例4 在非空集合A上的全关系是对称的,不是反对称的。
例题例5上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是反对称的,且不是对称的。
例题例6 在非空集合A上的恒等关系和空关系都是对称的,也都是反对称的。
例题例7 在集合上的关系
   
  不是对称的,也不是反对称的。
  例6和例7说明,对称性和反对称性既可以同时满足,也可以都不满足。