定理定理10.3.1 对X到Y的关系R和Y到Z的关系S，则
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
证明证明
　　（1）对任意的x，有
　　　
　　　，
　　所以， 。
　　（2）类似于（1）。
　　（3）对任意的，有所以，
　　　
　　所以，
　　（4）对任意的，有
　　　
　　　
　　　
　　　。
　　所以， 。
定理定理10.3.2 对X到Y的关系Q，Y到Z的关系S，Z到W的关系R，则
　　　
证明证明 对任意的，有
　　
　　
　　
　　　
　　
　　
　　所以， 。
　　关系的合成是关系的运算。定理表明，这个运算满足结合律。但是它不满足交换律，一般。
定理定理10.3.3 对X到Y的关系和，Y到Z的关系，有
　　（1） ，
　　（2） 。
　　对X到Y的关系，Y到Z的关系，，有
　　（3） ，
　　（4） 。
　　（注意，规定关系合成符优先于集合运算符。）
证明证明 只证（2），其他留作思考题。
　　（2）对任意的，可得
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　所以， 。
定理定理10.3.4 对X到Y的关系R和集合A 、B，有
　　（1） ，
　　（2） ，
　　（3） ，
　　（4） ，
　　（5） 。
证明证明 只证（2）和（3），其他留作思考题。
　　（2）对任意的y，可得
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　所以， 。
　　定理中有三个结论是包含关系，下面举出真包含的例子。
例题例4 设整数集合Z上的关系R为
　　　
　　 集合 .
　　于是，
　　但是，是，。
　　此外，，。但是， 。