定义10.3.1 对X到Y的关系R，Y到Z的关系S，定义 　　（1）R的逆为Y到X的关系 　　　, 　　下面分别列出用集合表达式、关系矩阵和关系图表达关系时，如何由R得到： 　　集合表达式：对R的每个有序对，把两个元颠倒得到有序对，这些的集合就是； 　　关系矩阵：的关系矩阵就是R的关系矩阵的转置矩阵，也就是说，把中每一对和互换就得到； 　　关系图：把R的关系图中每个有向边的方向颠倒就得到的关系图。 　　从逆关系的定义，容易看出，因为 　　　。 　　（2）R与R的合成为X到Z的关系 　　　。 　　合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个合成运算的例子，如果是关系"是…的兄弟"，是关系"是…的祖父"，那么是关系"是…的叔伯"。 　　如果在关系R和S中各有一个有序对，使且，则是关系的元素。而且包含全部这样的有序对。关系的合成如图10.3.1所示。因为且，故。虽有，但不存在y使 ，故没有y使 。也没有x使。 图10.3.1 　　 　　注意，X到Y的关系R和Y到Z的关系S合成为，而不写成。（注：有的书写为。）是X到Z的关系。为了求，应把R中每个有序对与S中每个有序对一一配合，以此确定的每个有序对。 　　此外，对任意的集合A，还可定义 　　（3）R在A上的限制为A到Y的关系 　　　， 　　是关系R的子集，其中每个有序对满足。可以说是A到Y的关系，也可以说是X到Y的关系。当时，。 　　（4）A在R下的象为集合 　　　。 　　是一个集合，它实质上是的值域。 例1 设集合A上的关系R为 　　　　， 　　　　。 　　则　 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　， 　　　　。 例2 设集合N上的关系R和S为 　　　， 　　　。 　　则 　　　， 　　　， 　　　。