描述关系的方法有三种:集合表达式、关系矩阵和关系图,关系的定义使用了集合表达式。三种描述方法有如下的特点,关系的集合表达是便于书写,关系矩阵便于存储,而关系图直观,清晰。同时要注意关系矩阵和关系图是对有穷集合上的二元关系所定义的。
定义10.2.1
设集合 , 。
(1)若R是X到Y的一个关系,则R的关系矩阵是m×n矩阵(m行、n列的矩阵)

矩阵元素是 ,且

其中
。
(2)若R是R上的一个关系,则R的关系矩阵是m×n方阵(m行、n列的矩阵)
矩阵元素是 ,且

其中
。
A到B的关系R是A×B的子集,A×B有m×n个有序对。矩阵M(R)有m行(行为横向)、n列(列为竖向),共有m×n个元素。因此,M(R)
的每个元素恰好对应A×B的一个有序对。用M(R)中元素 的值表示有序对 是否在R中,因为只有∈和 两种情况,所以
只取值0和1是合理的。我们也可看出,R的集合表达式与R的关系矩阵是可以唯一相互确定的。
例1
设 。X到Y的关系R为
。
则R的关系矩阵是

在矩阵右方和下方标注了X和Y的元素。标注表明, 对应第1行, 对应第2行, 对应第1列,依此类推。因此,第1行第3列交点的 表示 ,而第3行第1列的 表示 。在使用关系矩阵时,集合X和Y中的元素分别进行了排序。这时就不必在矩阵上标注这些元素,而且也不难确定一个矩阵元素对应的有序对。
例2
设 上的大于关系>定义为
。
则关系>的关系矩阵是

集合A中元素的排序是1,2,3,4,即1对应第1行、第1列,依此类推。
|