【学习目标】 　　　通过本章的学习，应达到如下的目标： 　　　◇　理解二元关系的概念及其性质；掌握二元关系的关系矩阵表示法和关系图画法。 　　　◇　了解关系的逆、合成（复合）的概念以及相应的关系矩阵的定义及其性质。 　　　◇　深入理解关系的某些特殊性质，包括自反性、非自反性、对称性、反对称性和传递性以及它们之间的关系。 　　　◇　了解关系的闭包的定义和具有的性质；掌握已知关系R自反、对称和传递闭包的构造方法，能够用Warshall算法计算关系R的传递闭包。 　　　◇　深入理解等价关系和划分的概念，掌握相关的证明思路与方法。了解相容关系和覆盖的概念以及它们与等价关系和划分的主要区别。 　　　◇　深入理解偏序关系和哈斯图的概念；掌握用哈斯图表示偏序集的方法和上确界和下确界的计算方法；了解拟序关系、全序关系和链等概念。 【学习指南】 　　　本章是集合论中的重要内容，包含的知识具有一定的广泛性和较强的实用性，学习是应注意把握以下几点： 　　　◇　由于关系是在集合上定义的，它是有序对的集合，同时关系的许多运算也都是集合的运算，所以在学习关系时要始终注意它与集合的紧密联系，从集合的性质、特点去把握和认识关系。 　　　◇　掌握好二元关系的关系矩阵和关系图，是学好关系的有效途径，在作二元关系的集合运算、逆运算（逆关系）、复合运算（关系的合成、n次幂）和闭包运算（自反闭包、对称闭包、传递闭包）过程中，要注意充分利用二元关系的关系矩阵和关系图。 　　　◇　学习关系要抓住关系的性质以及重要的关系，二元关系具有五种重要的性质：自反性、非自反性、对称性、反对称性和传递性，以及两个重要的关系：等价关系和偏序关系。这些性质和关系的判定，都可以利用关系图。因此，关系图（哈斯图即为简化的关系图）是学好本章的一个重要工具，必须熟练掌握关系图的画法及其应用。 　　　◇　闭包的构造方法及其运算是学习编译原理等课程的基础知识，求关系的传递闭包的Warshall算法是一个较为经典有效的算法，也应注意掌握。 　　　◇　另外，本章中的有些概念，如上确界、下确界、极小元、极大元、最小元、最大元等在一些数学分析或抽象代数中均已出现，如果有较好的数学基础或代数方面的知识，将有助于本章的学习和理解。 　　　◇　最后，在学习是还应注意一些思路和方法的掌握，如在学习关系的闭包时，理解关系闭包的概念和构造方法的同时，更要注意掌握闭包的思想方法，即：把不具有某些性质的关系加以扩充成为原关系的超集合，是新关系具有所希望的性质。这便是建立闭包的基本思想，闭包也是数学上常用的概念，在许多数学分支中均有应用。 【重点和难点】 　　　本章的重点内容可概括为"5221"： 　　　◇　第一个"5"指的是二元关系的具有的五种重要的性质，即：自反性、非自反性、对称性、反对称性和传递性。不但要理解这些性质的定义还要熟知每个性质在关系矩阵和关系图上的特点。 　　　◇　5后面的"2"指的是二元关系中的两个重要关系：等价关系和偏序关系。从这两个关系入手，很容易理解并掌握相容关系和覆盖以及拟序、全序和良序等其他关系。 　　　◇　后一个"2"指的是二元关系的关系矩阵和关系图这两个重要工具。它们既是二元关系的两种表示方法，又是理解关系的性质，描述关系的特点的重要手段，包括偏序集中的哈斯图，也是简化的关系图，尤其应重点掌握。 　　　◇　最后的一个"1"指的是一个算法，即Warshall算法。它是求关系的传递闭包的经典算法，也是学习后续课程的基础知识，不难理解和掌握。 　　　◇　本章中出现的部分数学名词与概念，如上确界、下确界等，对于初次接触的学生可能会感到有些困难，另外，偏序集的分解定理（定理10.8.4）及后面的10.8.5，较难理解，不作为学习重点。 　　　◇　还有一个重要的特殊关系，即空关系 ，是一个相对抽象较难理解的概念。 【预习思考题】　　　 　　　◇　集合与二元关系存在那些共同点？任一个集合都是一个二元关系吗？ 　　　◇　一个具有多少个元素的集合可以定义多少个二元关系？ 　　　◇　二元关系都具有哪些主要性质？这些性质应如何定义和判断？ 　　　◇　怎样对一个已知关系增加一些原来不具有的特殊性质，从而构成一个新的关系？ 　　　◇　一个二元关系是等价关系的条件是什么？ 　　　◇　一个二元关系是偏序关系的条件是什么？