定义9.7.3 对任意的集合A，定义集合，把称为A的后继，A称为的前驱。 例：考虑空集的一系列后继 　　 　　 　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　… 　　由于对任何集合a都有 。在空集的一系列后继中，任何两个集合都不相等。且满足下面两个条件： 　　1．前边的集合都是后边集合的元素； 　　2．前边的集合都是后边集合的子集。 　　3．利用这些性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自然数的定义。 定义9.7.4 集合是一个自然数。若集合n是一个自然数，则集合也是一个自然数。 　　按照这个定义，可以列出各自然数 　　 　　 　　 　　 　　对任一个自然数，则 　　　。 　　0没有元素，1有一个元素，2有两个元素，所以，这样定义自然数是合理的。很容易定义自然数间的大小关系。从上述定义可以看到任意一个自然数可看作是一个集合的名。 　　无穷公理是 　　　 　　无穷公理给出了自然数集合 的存在性。式中的N就是自然数集合。依据外延公理，自然数集合是唯一的。 定义9.7.5 对任意的自然数m和n， 　　 　　下面讨论自然数的三歧性。 定义9.7.6 对集合A，如果对任意的集合和，使 　　　 　　三式中恰好有一个成立，就称集合A有三岐性。 　　例如集合。因为，所以3有三岐性。 定理9.7.11 集合N有三岐性。每个自然数都有三岐性。对任意的自然数m和n，有 　　　。