(9)替换公理模式 对于任意的谓词公式，如果对任意的x存在唯一的y使得为真，那么对所有的集合t就存在一个集合s，使s中的元素y恰好是t中元素x所对应的那些y。 　　 　　其中表示 　　　　 　　符号表示存在唯一的一个y。 　　这也是公理模式，它包括无限多条公理，对一个具体的，就有一条替换公理。 (10)选择公理 对任意的关系R，存在一个函数F，F是R的子集，而且F和R的定义域相等。 　　 　　 　　 　　也可以简写成 　　　关系R)( 函数F)( 　　这是有关函数的公理，将在第11章介绍。 　　在10条公理中，外延公理和正则公理是描述集合性的公理，其他公理都是判定集合存在的公理，也就是构造集合的公理。空集合存在公理和无穷公理不以其他集合的存在为前提，是直接构造基本的集合。它们称为无条件的存在公理。无序对集合存在的公理、并集合公理、幂集合公理、子集公理模式、替换公理模式和选择公理是有条件的存在公理。这6条公理都是由已知集合构造新集合的公理，其中前5条公理构造的集合是唯一的，而选择公理没有给出构造新集合的方法，它只判定了新集合的存在性。实际上可能存在多个满足要求的新集合（即存在多个要求的函数）。 　　建立公理系统时，总希望公理是彼此独立的。但在这10条公理中，无序对集合存在公理和子集公理模式可以由其它公理推出。加入这两条公理是为了使用方便。下面给出由其它公理导出这两个公理的简单证明。 　　已知u和v是集合，下面证明{u,v}也是集合。由空集公理，是集合。由幂集公理，是集合，也是集合。令集合，定义为，则t和满足替换公理的前提，由替换公理得到，存在由u和v构成的集合。 　　替换公理模式中，令是。显然对任意的x存在唯一的y使成立，所以替换公理模式的前提成立，则有 　　　　 　　即 　 　　这就是子集公理模式。因此它是替换公理模式的特例。