在9.1.3中的例3中, 用谓词定义集合时产生了悖论。防止悖论的方法是使集合论公理化，也就是建立集合论公理系统。在一阶谓词公理系统中，公理和定理都是永真公式。在集合论公理中，少数公理是描述集合性质的，多数公理是构造合法集合的，也就是判断集合存在性的。有的公理构造基本集合，另一些公理由已知集合构造新的集合。利用这些公理，可以构造所有的集合（公理系统中的合法集合），这就是证明定理。在公理系统中的集合，都是由公理得到的合法集合。以前介绍的外延法和内涵法都不能构造出集合。 　　在定义9.3.4中，已经用集合定义了有序对，以后将用集合定义自然数。其他数字和字母也可以用集合定义。因为集合的元素都是集合，所以集合最内层的元素只能是空集。例如集合。因此，空集是最基本、最重要的集合。公理系统构造的第一个集合就是空集。