(1)
, (2)若
且
,
则
,(3)
.结果表明, 笛卡儿积不满足交换律和结合律, 结论(3)是因为
其中
是三元组,
但
不是三元组。
.
定理9.5.18
若A是集合，
，则
。
。
证明
,且
.由以上二式可得到
. 定理9.5.19
对任意的集合A,B和C，（1）
（2）
（3）
（4）
证明
只证（1）, 其余留作思考题。对任意的
，可得
所以，
。定理9.5.20
对任意的集合A,B和C，若
，则
证明
先设
，若
，则
所以，
。再设
。取，则
.所以,
。总之，
。类似可证，
。定理9.5.21
对任意的集合A,B,C和D，
证明
先设
，对任意的
，因存在
，则
所以，
，类似有
。再设
且。对任意的x，y有
所以，
。