定理9.5.8 对任意的集合A和B， 　　 证明 对任意的x,若 ,则有 　　 　　 　　 　　 　　此外 　　　　 　　　　 　　　　(用推理规则) 　　　　 　　于是 　　　　 　　　　 　　　　。 　　若 ，则有 　　且 。 　　传递集合是一类特殊的集合。下面给出传递集合的定义，并讨论它和幂集的关系。 定义9.5.1 如果集合的集合A的任一元素的元素都是A的元素，就称A为传递集合。这个定义也可以写成 　　A是传递集合 例4 　　是传递集合。A的元素的元素有和，这些都是A的元素。 　　 　　不是传递集合。B的元素的元素有和，但是不是B的元素。 定理9.5.9 对集合的集合A，A是传递集合 证明 先设A是传递集合。则对任意的，若则。若，对，有是传递集合)，则有，于是。总之，由，有 。 　　再设 。则对任意的x和y，有 　　（由已知） 　　 　　因此，A是传递集合。 定理9.5.10 对集合的集合A，A是传递集合是传递集合。 证明 先设A是传递集合。对任意的x和y，有 　　 　　（因为A是传递集合） 　　 　　所以是传递集合（证明中利用了传递集合的性质，它的元素一定是它的子集）。 　　再设是传递集合。对任意的x和y，有 　　 　　 　　是传递集合) 　　 　　所以A是传递集合。