定义9.2.1
两个集合是相等的,当且仅当它们有相同的元素。若集合A和B相等,则记作A=B;否则记作A≠B。
这个定义也可以写成

这个定义就是集合论中的外延公理, 也叫外延原理, 它实质上是说"一个集合是由它的元素完全决定的"。因此,可以用不同的表示方法(外延的或内涵的),用不同的性质、条件和内涵表示同一个集合。例如
{7,8,9}
是整数 ,
,
表示同一个集合,即上面三个集合相等。
定义9.2.2
对任意两个集合A和B,若A的每个元素都是B的元素,
就称A为B子集合,
或称B包含A,
或称B是A的超集合,
记作
或
.
这个定义也可以写成
当A不是B的子集合时,
即 不成立时,
记作A (子集合可简称为子集)。
A B表示A是B的一个元素;A B表示A的每个元素都是B的元素。此外, 是集合论的原始符号,这是一个基本概念;但是 是由 定义出来的概念。
例如
,但

但
有关=和 的两个主要结论。
定理9.2.1
两个集合相等的充要条件是它们互为子集, 即
 
这个定理很重要。以后证明两个集合相等时,主要使用这个定理,判定两个集合互为子集。下面是该定理的证明:
证明 




定理9.2.2
对任意的集合A,B和C;
(1) .
(2) .
(3) .
在这个定理中, (1)是自反性, (2)是反对称性(这是定理9.2.1的一部分), (3)是传递性. 定理9.2.2说明包含关系 具有这3个性质(实数间的≤关系也有这3个性质)。
我们在前面对比了 和 的某些区别,在此在给出二者的另一个不同之处, 没有上面的这3个性质.
(1)以后将证明, 对任意的集合A。A A(2)以后将证明,对任意的集合A和B, 。(3)对任意的集合A、B和C,当A B和B C时,不一定有A C
。以后将指出,C为传递集合时才能推出
。
定义9.2.3
对任意两个集合A和B,若A B且A≠B,则称A是B的真子集,B真包含A
, 或称B是A的真超集合,
记作
或
.
该定义也可以写成
. 
定义9.2.4
若两个集合A和B没有公共元素,就称A和B是不相交的。
该定义也可写成
A和B不相交
若A和B不是不相交的,
就称A和B是相交的。
例如

和 不相交,
和 相交。
|