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定理7.6.1
(Godel 不完全性定理) 若Z1是协调的,则存在Z1的一个语句A,在Z1中A及 A都不可能形式证明。
引理7.6.1
对任一递归函数r , 关系Rr在Z1中是可定义的。
引理7.6.2
对任一递归函数r,关系Rr是一个递归关系。
证明是容易的。
引理7.6.3
令A(x)是Z1的一个公式,[A(X)]
= m 是它的 Godel 数,n 是一个整数,代表某一个项t,则 Sub( m , n ) = Sub( [A(x)],
[t]) = [A(t)]
引理7.6.4
(对角线定理) 令 (x)是Z1的语言L的任一个公式,它的唯一的自由变元是x,则存在语句y,使得
Z1│-ψ ([ψ])
定理7.6.2
(Godel的第二不完全性定理) 令CON(Z1)
表示Z1是协调的。通过编码,CON(Z1)
可以表达为Z1的一个形式公式,某一Z1的语句y在Z1中不可证明。(如果Z1不协调,任何公式都在Z1中可证。)
实际上,y与CON(Z1)是等价的。
定理7.6.3
(广义Godel 不完全性定理)
令T是任何一个理论,它的公理是归纳地给出的,同时原始递归函数在T中可以定义,那么,若T协调,则
(1)存在语句A
,A及 A在T中都不可证。
(2)CON(T)在T中是不可证的。
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