完全性定理

   关于形式推理的定义,请参见本书前面的部分。一个语句A是理论T的逻辑推理的结果,即AT的一个定理,记为 T│- A 。
  定义7.3.1
  
(语法定义)一个理论T是协调的,如果对任一语句A ,T│-AT│-A不可能同时成立。
  定理7.3.1
  
(紧致性定理)T是协调的,当且仅当T的任一有穷子集合是协调的。
  证明 如果T' 的某一有穷子集合T是不协调的,将有T'│- AT'│-A,A是某一语句。根据形式推理的定义,当然有T │-AT│-A,则T是不协调的。
  如果T本身是不协调的,T│- AT│-A 。又根据形式推理的定义,在两个推理中,只用了有穷个T中的语句作为推理前提,记为T'。显然 有T'│-AT'│-A,因而T'是不协调的。T'T的一个有穷子集合。
  定义7.3.2
  (语义定义) 一个理论T是协调的,如果它有一个模型M,M│=T
  这两个定义是等价的。
  定理7.3.2
  一阶理论T在语法上是协调的,当且仅当T有一个模型。

  引理7.3.1
  如果T是协调的,A是任一语句,T∪{A} 或者T∪{A} 其中至少有一个是协调的。
  引理7.3.2
  如果T是协调的,T中的任一语句都不含量词符号,则T有一个模型。
  引理7.3.3
  若T是协调的,则T*也是协调的。
  定理7.3.3 Godel 完全性定理