完全性定理 　　 关于形式推理的定义，请参见本书前面的部分。一个语句A是理论T的逻辑推理的结果，即A是T的一个定理，记为 T│- A 。 　　定义7.3.1 　　（语法定义）一个理论T是协调的，如果对任一语句A ,T│-A及T│-A不可能同时成立。 　　定理7.3.1 　　（紧致性定理）T是协调的，当且仅当T的任一有穷子集合是协调的。 　　证明 如果T' 的某一有穷子集合T是不协调的，将有T'│- A 及T'│-A,A是某一语句。根据形式推理的定义，当然有T │-A∧T│-A，则T是不协调的。 　　如果T本身是不协调的，T│- A∧T│-A 。又根据形式推理的定义，在两个推理中，只用了有穷个T中的语句作为推理前提，记为T'。显然 有T'│-A及T'│-A，因而T'是不协调的。T'是T的一个有穷子集合。 　　定义7.3.2 　　（语义定义） 一个理论T是协调的，如果它有一个模型M,M│=T 。 　　这两个定义是等价的。 　　定理7.3.2 　　一阶理论T在语法上是协调的，当且仅当T有一个模型。 　　引理7.3.1 　　如果T是协调的，A是任一语句，T∪{A} 或者T∪{A} 其中至少有一个是协调的。 　　引理7.3.2 　　如果T是协调的，T中的任一语句都不含量词符号，则T有一个模型。 　　引理7.3.3 　　若T是协调的，则T*也是协调的。 　　定理7.3.3 Godel 完全性定理