(1)L的常项符号集合C到集合A的一个影射 rCA 。如果对所有常项 C∈C, C在A中出现,我们以r(c)置换c在A中的所有出现,这个置换称为 r-置换。Ar 将表示由A通过r-置换所得到的以A为论域的公式。
  (2)L的语句到 {0,1} 集合的一个映射(记为I )归纳定义如下:
   (i)I(Fj(c1,c2,…,ck) = ck+1) = 1 当且仅当 fj(r(c1),r(c2),…, r(ck)) = r(ck+1) 在M中成立。
   (iiI(Pj(c1,c2,…,ck)) = 1 当且仅当 <r(c1),r(c2),…, r(ck)>∈RkM中成立。
   (iii)I(A) = 1 当且仅当 I(A) = 0 。
   (iv)I(AB) = 1 当且仅当 I(A) = 1 或者I(B) = 1 。对 AB,AB, AB 的定义类似。
   (v)I(xA) = 1 当且仅当 存在A中的元素c ,使Ar(C) 在M中成立 。
   (vi)I(xA) = 1 当且仅当 对所有A中的元素a ,使Ar(a) 在M中皆成立 。
  令T是一阶理论,LT的语言,L的一个结构M , 一个赋值I组成的序对 <M,I> 是T的一个模型, 如果对所有的T的非逻辑公理A , I(A) = 1, 通常记为M│=A。为表示M在某一赋值下是T的模型,我们也写成 M│= T
  7.1 介绍的一阶形式理论,属于语法的范畴,7.2 介绍的形式理论 T 的模型是属于语义的范畴。

  之所以称L为一阶语言,称T为一阶理论,是因为在L中个体变元 x及个体常项c 等,都是代表同一层次的个体对象。而该语言只有一个单一的对象层次。如果在L中引入代表个体对象集合的变元及常项,而个体对象集合正好对应于一阶函词和一阶谓词,如 X, Y , Z … 等等,那么L就称为一个二阶语言。基于一阶语言的理论T自然就称为一阶理论。