(1)L的常项符号集合C到集合A的一个影射 r：C→A 。如果对所有常项 C∈C, C在A中出现，我们以r(c)置换c在A中的所有出现，这个置换称为 r-置换。Ar 将表示由A通过r-置换所得到的以A为论域的公式。 　　(2)L的语句到 {0,1} 集合的一个映射（记为I ）归纳定义如下： 　　　(i)I(Fj(c1,c2,…,ck) = ck+1) = 1 当且仅当 fj(r(c1),r(c2),…, r(ck)) = r(ck+1) 在M中成立。 　　　(iiI(Pj(c1,c2,…,ck)) = 1 当且仅当 <r(c1),r(c2),…, r(ck)>∈Rk 在M中成立。 　　　(iii)I(A) = 1 当且仅当 I(A) = 0 。 　　　(iv)I(A∧B) = 1 当且仅当 I(A) = 1 或者I(B) = 1 。对 A∧B,A→B, AB 的定义类似。 　　　(v)I(xA) = 1 当且仅当 存在A中的元素c ,使Ar(C) 在M中成立 。 　　　(vi)I(xA) = 1 当且仅当 对所有A中的元素a ,使Ar(a) 在M中皆成立 。 　　令T是一阶理论，L是T的语言，L的一个结构M , 一个赋值I组成的序对 <M,I> 是T的一个模型， 如果对所有的T的非逻辑公理A , I(A) = 1， 通常记为M│=A。为表示M在某一赋值下是T的模型，我们也写成 M│= T 。 　　7.1 介绍的一阶形式理论，属于语法的范畴，7.2 介绍的形式理论 T 的模型是属于语义的范畴。 　　之所以称L为一阶语言，称T为一阶理论，是因为在L中个体变元 x及个体常项c 等，都是代表同一层次的个体对象。而该语言只有一个单一的对象层次。如果在L中引入代表个体对象集合的变元及常项，而个体对象集合正好对应于一阶函词和一阶谓词，如 X, Y , Z … 等等，那么L就称为一个二阶语言。基于一阶语言的理论T自然就称为一阶理论。