"模型化是数学中的一个基本概念,它处于所有的数学应用之心脏,也处于某些最抽象的纯数学核心之中。"
     --R. C.Buck
  "数学之所以重要,其中心原因在于它所提供的数学系统的丰富多彩;此外的原因是,数学给出了一个系统,以便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题,回答问题,并且也就探索了模型的行为。"
     --R. C. Buck & E. F. Buck
  一阶语言的理论是十九世纪末二十世纪初数学形式化的产物,对计算机的发明有重要的影响。一个一阶语言由字符表、形成规则、公式(既按形成规则构成的字符串)组成。从形式主义的角度来看,它们没有任何含义,就像一部按给定的规则来摆弄、拼凑字符的机器一样。
  以 L 表示一个一阶语言,L 将由以下的各部分组成:

  1.字符表
  (1)个体变元 x,y,z,… 或者 x1, x2, x3, …
  (2)常项变元 a,b,c,… 或者 c1, c2,c3, …
  (3)函词符号 F1, F2, …, Fn ( 函词符号集可以是一个无穷的集合)
  (4)谓词符号 P1,P1,…,Pm (谓词符号集也可以是一个无穷的集合)

  说明 每一个函词符号,或者谓词符号都带一个预先设置好的整数 k > 0 , 称为该函词(谓词)的变目个数。比如,若 F 的预设整数 k = 2, 则 F 是一个二元函词。若 P 的预设整数 k = 1, 则 P 是一个一元谓词。有些一阶语言不带函词。

  (5)特殊谓词 = ( 等号 )
  (6)逻辑联结词 ,∧, ∨, →,
  (7)量词 ,
  (8)括号 ( , )

  2.形成规则
  (1)项的形成规则
   (i)任一个体变元 x , 任一常项 c 都是一个项。
   (ii)若 F 是一个带 k 个变目的函词,t1,t2,…,tk 是项,则 F(t1,t2,…,tk) 是一个项。
   (iii)只有由定义 (i) ,(ii) 归纳定义得到的字符串是项。

  (2)公式的形成规则
   (i)F 是一个 k 目函词,t1,t2,…,tk, tk+1 是项,则F(t1,t2,…,tk) = tk+1 是一公式。
   (ii)P 是一个 k 目谓词,t1,t2,…,tk 是项, 则 P(t1,t2,…,tk ) 是一公式。
   (iii)A, B 是公式,则A , A∧B, A∨B, A→B, AB 是公式。
   (iv)A 是公式,x 是一变元,则xA ,xA 是公式。
   (v)仅由 (1) - (iv) 归纳定义得到的字符串是公式。

  3.语句的定义 公式 A 是一个语句,如果 A 中不含任何变元的自由出现。(见 4.2.3.)

  4.给定一阶语言 L , T 是一个一阶理论,如果它包括:
  (1)谓词演算的所有公理。
  (2)一个L中的语句组成的集合,有穷或者无穷。它们称为非逻辑公理。
  (3)谓词演算的所有推理规则。

  5.定理的定义  
  L 中的一个语句 A 是理论 T 的一个定理,如果 A 是4中(1)或 (2)语句,或者是以逻辑公理或非逻辑公理为前提,使用 T 的推理规则得到的语句。