"模型化是数学中的一个基本概念,它处于所有的数学应用之心脏,也处于某些最抽象的纯数学核心之中。"
--R. C.Buck
"数学之所以重要,其中心原因在于它所提供的数学系统的丰富多彩;此外的原因是,数学给出了一个系统,以便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题,回答问题,并且也就探索了模型的行为。"
--R. C. Buck & E. F. Buck
一阶语言的理论是十九世纪末二十世纪初数学形式化的产物,对计算机的发明有重要的影响。一个一阶语言由字符表、形成规则、公式(既按形成规则构成的字符串)组成。从形式主义的角度来看,它们没有任何含义,就像一部按给定的规则来摆弄、拼凑字符的机器一样。
以 L 表示一个一阶语言,L 将由以下的各部分组成:
1.字符表
(1)个体变元 x,y,z,… 或者 x1, x2, x3,
…
(2)常项变元 a,b,c,… 或者 c1, c2,c3,
…
(3)函词符号 F1, F2, …, Fn ( 函词符号集可以是一个无穷的集合)
(4)谓词符号 P1,P1,…,Pm (谓词符号集也可以是一个无穷的集合)
说明 每一个函词符号,或者谓词符号都带一个预先设置好的整数 k > 0
, 称为该函词(谓词)的变目个数。比如,若 F 的预设整数 k = 2, 则 F 是一个二元函词。若 P 的预设整数 k = 1,
则 P 是一个一元谓词。有些一阶语言不带函词。
(5)特殊谓词 = ( 等号 )
(6)逻辑联结词 ,∧,
∨, →, 
(7)量词 ,
(8)括号 ( , )
2.形成规则
(1)项的形成规则
(i)任一个体变元 x , 任一常项 c 都是一个项。
(ii)若 F 是一个带 k 个变目的函词,t1,t2,…,tk 是项,则 F(t1,t2,…,tk) 是一个项。
(iii)只有由定义 (i) ,(ii) 归纳定义得到的字符串是项。
(2)公式的形成规则
(i)F 是一个 k 目函词,t1,t2,…,tk, tk+1
是项,则F(t1,t2,…,tk) = tk+1
是一公式。
(ii)P 是一个 k 目谓词,t1,t2,…,tk 是项,
则 P(t1,t2,…,tk ) 是一公式。
(iii)A, B 是公式,则 A
, A∧B, A∨B, A→B, A B
是公式。
(iv)A 是公式,x 是一变元,则 xA
, xA
是公式。
(v)仅由 (1) - (iv) 归纳定义得到的字符串是公式。
3.语句的定义 公式 A 是一个语句,如果 A 中不含任何变元的自由出现。(见 4.2.3.)
4.给定一阶语言 L , T 是一个一阶理论,如果它包括:
(1)谓词演算的所有公理。
(2)一个L中的语句组成的集合,有穷或者无穷。它们称为非逻辑公理。
(3)谓词演算的所有推理规则。
5.定理的定义
L 中的一个语句 A 是理论 T 的一个定理,如果 A 是4中(1)或 (2)语句,或者是以逻辑公理或非逻辑公理为前提,使用
T 的推理规则得到的语句。
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