定理6.2.1
证明(1)
(前提)(2)
（由（1）依规则（12），取a不在A(x)中出现）(3)
（（2）和规则（13））而
可同样证明。定理6.2.2
证明(1)
（取a不在
中出现）(2)
（由（1）依规则（12），取
也不在中出现）(3)
（由（2）和规则（15））(4)
（由（3）和规则（13））(5)
（前提）(6)
（因(1)
,依规则(14)便有
）这里我们给出三个比较复杂的定理的推演过程。
定理6.2.3
证明(1)
（前提）(2)
（取a不在A(x,y)中出现）(3)A(a) （由(1)依规则(12)）
(4)
（由(2),(3)和
）(5)
(6)
（因
,
依规则(14)有
）(7)
（由(1),
依规则(3)有
）
反过来有
(1)
（前提）(2)
（取a为不在A(x)中出现）(3)
（由(2)依规则(15)）(4)A(a) （由(1),
依规则(3)有
）(5)
（由(4)依规则(13)）定理6.2.4
│-
证明1)
（前提）2) A(a) （取a为不在A(x)中出现）
3)
（由(1)依规则12）4)
（由(2)(3)依A,
A│-B
）5)
6)
（因2│-4，由规则14有5│-6）7)
（
由1,5│-5,6，依规则3有1│-7）定理6.2.5
证明(1)
（前提）(2)
（由1依规则12）(3)
（前提）(4) A(a) （由3依规则12）
(5) B(a) （由2,4依规则8）
(6)
（因1│-5，依规则13有1│-5））