例1前提(
x)(P(x)→Q(x)),(x)(Q(x)→R(x))结论(
x)(P(x)→R(x))
证明| (1)(x)(P(x)→Q(x)) |
前提 |
| (2) P(x)→Q(x) | (1) 全称量词消去 |
| (3) (x)(Q(x)→R(x)) |
前提 |
| (4) Q(x)→R(x) | (3) 全称量词消去 |
| (5) P(x)→R(x) | (2)(4) 三段论 |
| (6) (x)(P(x)→R(x)) |
(5) 全称量词引入 |
例2所有的人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的。
首先引入谓词形式化。令P(x)表x是人,Q(x)表x是要死的,于是问题可描述为
(
x)(P(x)gQ(x))∧P(苏格拉底)→Q(苏格拉底)证明| (1) (x)(P(x)→Q(x))
|
前提 |
| (2) P(苏格拉底)→Q(苏格拉底) | 全称量词消去 |
| (3) P(苏格拉底) | 前提 |
| (4) Q(苏格拉底) | (2)(3) 分离 |
在第四章的开头就说过，由于命题逻辑对命题的分解只到原子命题为止，无法揭示原子命题内部的含义，所以有许多问题在命题逻辑中就无法解决。本例的苏格拉底三段论即为一例。但在谓词逻辑中，由于引进了个体、谓词和量词，对命题的分解可以更进一步，就可以更深刻地揭示事物的本质。
例3前提(
x)P(x)→(x)((P(x)∨Q(x))→R(x)),
(x)P(x)结论(
x)(y)(R(x)∧R(y))证明| (1)(x)P(x)→(x)((P(x)∨Q(x))→R(x)) |
前提 |
| (2)(x)P(x) |
前提 |
| (3)(x)((P(x)∨Q(x))→R(x))
|
(1) (2) 分离 |
| (4)P(c) | (2)存在量词消去 |
| (5)(P(c)∨Q(c))→R(c) | (3)全称量词消去 |
| (6)P(c)∨Q(c) | (4) |
| (7)R(c) | (5) (6)分离 |
| (8)(x)R(x) |
(7)存在量词引入 |
| (9)(y)R(y)
|
(7)存在量词引入 |
| (10)(x)R(x)∧(y)R(y) |
(8)(9) |
| (11)(x)(y)(R(x)∧R(y)) |
(10)置换 |
例4分析下述推理的正确性
| (1)(x)(y)(x
> y) |
前提 |
| (2)(y)(z
> y) |
全称量词消去 |
| (3) z > b | 存在量词消去 |
| (4)(z)(z
> b) |
全称量词引入 |
| (5) b > b | 全称量词消去 |
| (6)(x)(x
> x) |
全称量词引入 |