1.(x)(P(x)∧Q(x))(x)P(x)∧(x)Q(x) 　　这定理在{1, 2}域上是成立的, 已在节5.2.3作了说明。 　　再从语义上讨论。如果个体域是某班学生，P(x)表x是高材生，Q(x)表x是运动健将。那么(x)(P(x)∧Q(x))表这个班上有一个学生既是高材生又是运动健将。而(x)P(x)∧(x)Q(x)只是说这个班上有一个高材生而且有一个运动健将，但不要求高材生和运动健将是同一学生。显然推理式是成立的。其结论比前提明显地要求弱了，从而这推理式的逆是不成立的。 　证明 　　设解释I下有(x)(P(x)∧Q(x)) = T即有x0∈D使P(x0)∧Q(x0) = T, 从而有P(x0) = T, Q(x0) = T。 　　也即 (x)P(x) = T, (x)Q(x)= T，从而有 　　(x)P(x)∧(x)Q(x) = T。 　　2.(x)(P(x)→Q(x))(x)P(x)→(x)Q(x) 　　语义上讨论。论域仍是某班的学生，为使(x)(P(x)→Q(x)) = T，论域内学生分布只有两种可能，一是班上所有学生都是高材生又都是运动健将。一是班上有的学生不是高材生，但凡高材生必是运动健将。这两种情况下都(x)P(x)→(x)Q(x) = T。 　　然而这推理式的逆是不成立的，仅当班上有的高材生不是运动健将，而且又有的学生不是高材生时，有(x)P(x)→(x)Q(x) = T, 而(x)(P(x)→(x)Q(x)) = F。 　证明 　　设在一解释I下，有(x)(P(x)→Q(x))＝T。 　　从而对任一x∈D。P(x)→Q(x)＝T 。这必能保证(x)P(x) = T时有(x)Q(x) = T。从而有 　　(x)P(x)→(x)Q(x) = T。 　　3.讨论推理公式10。 　　(x)(y)P(x, y)(y)(x)P(x, y) 　　这定理在{1, 2}域上是成立的, 已在节4.5.2作了说明。 　　语义上讨论。如论域为实数域上的区间[-1, 1], 而P(x, y)表x×y = 0。这时(x)(y)P(x, y) = T,因为取x=0，对所有的y都有x×y = 0。自然有(y)(x)P(x, y) = T，因为所有的y， 均取x = 0便有x×y = 0成立。 　　这定理的逆也是不成立的，如取P(x, y)表x + y = 0，这时(y)(x)P(x, y) = T, 而(x)(y)P(x, y) = F。 　证明 　　设一解释I下，有(x)(y)P(x, y) = T，于是有x0∈D，使对一切的y∈D都有P(x0, y) = T。从而对一切的y∈D，都有一个x（均选为x0)使P(x, y) = T，即(y)(x)P(x, y) = T。