例题 　　证明下列等值式： 　　（1）xA(x)→B =x(A(x)→B)，其中B不含x； 　　（2）A→xB(x) =x(A→B(x))，其中A不含x； 　　（3）x(A(x)→B(x)) =xA(x)→xB(x) 　　思路：要证明上述的等值式，可利用基本等值式对公式进行变形，将等值号一边的公式变形为另一边的公式即可。由于谓词公式表示的仍是命题，故命题逻辑中的基本等值式在谓词逻辑中仍成立，只要将那里的P、Q、R看成谓词公式即可。 证明 　　（1）注意到B中不含x，则 　　左边 = xA(x)→B 　　　　 = xA(x)∨B 　　　　 = xA(x)∨B 　　　　 = x(A(x)→B) 　　　　 = 右边 　　所以，xA(x)→B =x(A(x)→B)。 　　（2）注意到A中不含x，则 　　　A→xB(x) 　　= A∨xB(x) 　　= x(A∨B(x)) 　　= (A→B(x)) 　　所以，A→x B(x) = x(A→B(x))。 　　（3）x(A(x)→B(x)) 　　= x(A(x)∨B(x)) 　　= xA(x)∨xB(x) 　　= xA(x)∨xB(x) 　　= xA(x)→xB(x) 　　所以，x(A(x)→B(x)) =xA(x)→xB(x)。 　　说明：在运用等值式时，仍应将它们看成是一些等值模式。这是因为谓词公式的每个子公式都是命题变项，故命题逻辑中的代入规则（这里说的不是自有变元的代入规则）在谓词逻辑中仍然适用。同理，置换规则也照样适用。如上述证明过程中就多次运用置换规则对子公式进行了置换。由此还可看出，命题逻辑是谓词逻辑的特例，当谓词公式中不含命题函数（当然也就不能含有个体了）时，谓词公式就变成了命题公式。