对∨,
对∧分配律不成立的原因。先从{1, 2}域上看，
(
x)(P(x)∨Q(x))
= (P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))
= (P(1)∧P(2))∨(Q(1)∧Q(2))∨(P(1)∧Q(2))∨(Q(1)∧P(2))
而
(
x)P(x)∨(x)Q(x)= (P(1)∧P(2))∨(Q(1)∧Q(2))
于是有
(
x)(P(x)∨Q(x))
= (
x)P(x)∨(x)Q(x)∨(P(1)∧Q(2))∨(Q(1)∧P(2))然而
(
x)(P(x)∧Q(x))
= (P(1)∧Q(1))∧(P(2)∧Q(2))
= (P(1)∧P(2))∧(Q(1)∧Q(2))
= (
x)P(x)∧(x)Q(x)可看出
对∧的分配律,只涉及到∧和交换律,这是没有问题的。对∨的分配律，涉及到∧和∨，这是对∨分配律不成立的原因。从{1,
2}域上的观察, 可知(
x)P(x)∨(x)Q(x)
(x)(P(x)∨Q(x))是成立的。将会看到在任意论域D上也是成立的。
再看
(
x)(P(x)∧Q(x))
= (P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2))
而
(
x)P(x)∧(x)Q(x)= (P(1)∨P(2))∧(Q(1)∨Q(2))
= (P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2))∨(P(1)∧Q(2))∨(P(2)∧Q(1))
= (
x)(P(x)∧Q(x))∨(P(1)∧Q(2))∨(P(2)∧Q(1))然而
(
x)(P(x)∨Q(x))
= (P(1)∨Q(1))∨(P(2)∨Q(2))
=(P(1)∨P(2))∨(Q(1)∨Q(2))
=(
x)P(x)∨(x)Q(x)同样可看出
对∨的分配律,
只涉及到∨和交换律，仍然是没问题的。对∧的分配律，涉及到∨和∧，这是对∧分配律不成立的成因。从{1,
2}域上的观察, 可知(
x)(P(x)∧Q(x))(x)P(x)∧(x)Q(x)是成立的。将会看到在任意论域D上也是成立的。
还可解释性的说明。
由(
x)(P(x)∨Q(x))=T,
导不出(x)P(x)∨(x)Q(x)
= T若如下规定解释I:
x1时, P(x1) = T 而Q(x1) = F
x2时, P(x2) = F 而Q(x2) = T
对其它x∈D, 只要求P(x), Q(x)中只有一为T。在这个I下， 显然有(
x)(P(x)∨Q(x))
= T，而没有(x)P(x)∨(x)Q(x)
= T。同样在这个I下，有(
x)P(x)∧(x)Q(x)
= T，而没有(x)(P(x)∧Q(x))
= T。