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像命题逻辑一样,需限定所讨论的命题形式的范围,由于谓词逻辑里引入了个体词、量词,从而带来了复杂性。
首先应用明确我们所讨论的谓词逻辑,限定在量词仅作用于个体变元,不允许量词作用于命题变项和谓词变项。不出现
( p)(Q(x)→p)
( Q)(Q(x)∨ P(x))
这种形式的符号,也不讨论谓词的谓词。这样限定的范围就称作一阶谓词逻辑或狭谓词逻辑。这是相对高阶谓词逻辑而言的。
还需说明一下所使用的符号:
命题变项以 p, q, r…表示(小写)。
个体变项以 x, y, z…表示(小写),个体常项则以大写英文单词表示,有时也以a, b, c,…等小写字母表示。
谓词变项以P, Q, R, …表示(大写),谓词常项则以大写英文字母表示,如REAL, ON等。
函数f, g, …表示(小写)
五个联结词仍延用命题逻辑的符号。
量词有 和 。
还有小括号( )。
这些符号所代表的内容看来有些混乱,但对一个给定的谓词公式来说,容易分辨不至于出现混淆。
现在的问题是,由上述这些符号可形成哪些我们所关心的符号串,需作约定。
合式公式定义:
1. 命题常项、命题变项和原子谓词公式(不含联结词的谓词)都是合式公式。
2. 如果A是合式公式, 则 A也是合式公式。
3. 如果A, B是合式公式, 而无变元x在A,B的一个中是约束的而在另一个中是自由的, 则(A∧B), (A∨B), (A→B),
(A B)也是合式公式(最外层括号可省略)。
4. 如果A是合式公式, 而x在A中是自由变元, 则( x)A,
( x)
A也是合式公式。
5. 只是适合以上四条的才是合式公式。
依定义
p, P(x,
y)∨Q(y),
( x)(A(x)→B(x)),
( x)(A(x)→( y)B(x,
y))都是合式公式。
然而 ( x)F(x)∧G(x),
( x)(( x)F(x)),
( x)P(y)
都不是合式公式。
并不是说上述形成合式公式的方式是唯一的。这里给出的是限制较强的。但不管哪种合式公式的定义,都要求所形成的公式语义上是有意义的,含义是唯一的。
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