合式公式也称为谓词公式,简称公式。我们这里的公式指的都是一阶语言的公式。所谓一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言,而一阶逻辑就是建立在一阶语言基础上的逻辑体系,一阶语言本身不具备任何含义,但可以根据需要被解释成具有某种含义。
  在前面合式公式的定义中出现的字母A、B是代表任一公式的元语言符号。为方便起见,公式(A), (A∧B)……的最外层括号可以省去,使其变成A, A∧B……
  下文中出现的A、B等符号均指任意的合式公式,简称为公式。例如,A可以是F(x),G(x)等原子公式,也可以不是原子公式,如F(x)→y G(y),x(F(x, y)∧G(x, z))等按合式公式形成规则形成的各种公式。
  在公式(x)A和(x)A中,称x为指导变元,A为相应量词的辖域。在(x)A和(x) A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,A中不是约束出现的其它变项均称为是自由出现的。我们看下面的例子。
例题
  指出下列公式中的指导变元,各量词的辖域,自由出现以及约束出现的个体变项:
  (1)x(F(x, y)→G(x, z)) (4.31)
  (2)x(F(x)→G(y))→(y)(H(x)∧L(x, y, z)) (4.32)
  解:(1)x是指导变元。量词的辖域A = (F(x, y)→G(x, z)),在A中,x是约束出现的,y是自由出现的。后件中的量词的指导变元为y,的辖域为(H(x)∧L(x, y, z)),其中y是约束出现的,x,z均为自由出现的。在整个公式中,x约束出现一次,自由出现两次,y自由出现一次,约束出现一次,z只自由出现一次。
  (2)式中含有两个量词,前件上的量词的指导变元为x,的辖域A = (F(x)→G(y)),其中x是约束出现的,y是自由出现的。后件中的量词的指导变元为y,的辖域为(H(x)∧L(x, y, z)),其中y是约束出现的,x、z均为自由出现的。在整个公式中,x约束出现一次,自由出现两次,y自由出现一次,约束出现一次。
  可将上例(1)中公式简记为A(y, z),这表明(1)中公式含自由出现的个体变项y、z。而y A(y, z)中只含z为自由出现的公式,zy A(y, z)中已无自由出现的个体变项了,此时的公式为
  zyx(F(x, y)→G(x, y, z)) (4.33)
  设A是任意的公式,若A中不含自由出现的个体变项,则称A为封闭的公式,简称闭式。
  易知(4.33)式是闭式,而(4.31)和(4.32)式则不是闭式。要想使含r(r≥1)个自由出现个体变项的公式变成闭式至少要加上r个量词,将公式(4.31)加了两个量词就变成了闭式(4.33)了。类似的,也可以用加量词的方法将(4.32)式变成闭式。