第五节 有限论域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的表示法

　　我们曾约定个体变元的论域是包含一切事物的集合，由于论域的无限性，给公式真值的讨论带来了复杂性，今将论域限定为有限集，为方便又不失一般性，用{1, 2, …, k}来代表，这时来重新认识一下全称量词和存在量词。

一、论域为有限域时的公式表示法

　　(x)P(x) = P(1)∧P(2)∧…∨P(k)
　　(x)P(x) = P(1)∨P(2)∨…∨P(k)
　　按定义(x)P(x)就是一切x都具有性质P, 或说对一切x, P(x)都成立.。论域
　　D₁ = { 1, 2, …, k}
　　时，就是说P(1), P(2), …, P(k)都成立, 自然有
　　(x)P(x) = P(1)∧P(2)∧…∧P(k)
　　也说是说, 全称量词"乃是合取词∧的推广。有限域下, (x)P(x)就化成了由合取词描述的命题逻辑的公式。在任意域下，全称量词的作用"相当于"无限个合取词的作用。
　　按定义(x)P(x)就是至少有一个x具有性质P，或说有一个x，使P(x)成立。在论域为D1时，就是说P(1), 或P(2)或…或P(k)成立, 自然有(x) P(x) = P(1)∨P(2)∨…∨P(k)
　　也就是说, 存在量词乃是析取词∨的推广。有限域下，(x)P(x) 就化成了由析取词描述的命题逻辑的公式。在任意域下，存在量词的作用"相当于"无限个析取词的作用。