四、"有的实数不是有理数"的形式化

　　这句话的意思是有的x，它是实数而且不是有理数。若以A(x)表示x是实数，B(x)表示x是有理数，那么这句话可形式描述为
　　(x)(A(x)∧B(x))

五、自然数集的形式描述

　　论域是自然数集，来形式化下列语句：
　　1.对每个数, 有且仅有一个相继后元。
　　2.没有这样的数, 0是其相继后元。
　　3.对除0而外的数, 有且仅有一个相继前元(可将这三句话作为建立自然数集合的公理)。
　　引入谓词E(x, y)表示x = y, 函数f(x)表示个体x的相继后元, 即f(x) = x+1。函数g(x)表示个体x的相继前元，即g(x) = x－1。
　　对语句1需注意"唯一性"的描述，常用的办法是如果有两个则它们必相等。即若对每个x都存在y, y是x的相继后元，且对任一z，如果它也是x的相继后元，那么y, z必相等。于是对语句1存在"唯一性"的描述为
　　(x)(y)(E(y, f(x))∧(z)(E(z, f(x))→E(y, z)))
　　对语句3需注意的是对"除0而外"的描述，可理解为如果x≠0。则……的形式，于是语句3可描述为
　　(x))(E(x, 0)→(y)(E(y, g(x))∧(z)(E(z, g(x))→E(y, z))))
　　语句2的描述是简单的，可写成
　　((x)E(0, f(x))